Question

已知矩形ABCD中，AB=4，對角線BD=2AB，且BE平分∠ABD，點P從點D以每秒2個單位沿DB方向向點B運動，點Q從點B以每秒1個單位沿BA方向向點A運動，設運動時間為t秒，△BPQ的面積為S．
（1）若t=2時，求證：△DBA∽△PBQ；
（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值；
（3）在運動的過程中，△BQM能否成為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵t=2，
∴BQ=2，PB=4，
∴

BQ

BA

=

BP

BD

，∠PBQ=∠PBQ，
∴△PBQ∽△DBA；

（2）過點Q作△PBQ的高h，
則S_△PBQ=

1

2

PB•h=-

3

2

t²+2

3

t=-

3

2

（t-2）²+2

3

，
∴當t=2時，Smax=2

3

；

（3）分三種情況討論：
①當∠QBM=∠BMQ=30°時，有：
∠AQM=60°=∠ABD，
∴PQ∥BD，
∴與題意矛盾，不存在；
②當∠QBM=∠BQM=30°時，如圖，則
BQ=2PB即2（8-2t）=t，得t=

16

5

≤4；
③當∠BQM=∠BMQ=75°時，如圖，
作QF⊥BP，則：PB=BF+PF=BF+QF=

1

2

t+

3

2

t=8-2t，
得：t=

16

3 +5

=

40-8 3

11

≤4，
∴當t=

16

5

或t=

40-8 3

11

時，△BQM成為等腰三角形．