【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以A為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)C.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒個(gè)單位的速度沿線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.過點(diǎn)P作PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N.

(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo),并求出拋物線的解析式;

(2)當(dāng)t為何值時(shí),△ACM的面積最大?最大值為多少?

(3)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),當(dāng)t為何值時(shí),在線段PE上存在點(diǎn)H,使以C、Q、N、H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?

【答案】(1)A(1,4);y=-x2+2x+3;(2)當(dāng)t=2時(shí),△AMC面積的最大值為1;(3)

【解析】(1)由矩形的性質(zhì)得到點(diǎn)A的坐標(biāo),由拋物線的頂點(diǎn)為A,設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+4,把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入即可求得a的值;

(2)由點(diǎn)P的坐標(biāo)以及拋物線解析式得到點(diǎn)M的坐標(biāo),由A、C的坐標(biāo)得到直線AC的解析式,進(jìn)而得到點(diǎn)N的坐標(biāo),即可用關(guān)于t的式子表示MN,然后根據(jù)△ACM的面積是△AMN和△CMN的面積和列出用t表示的△ACM的面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到當(dāng)t=2時(shí),△AMC面積的最大值為1;

(3)①當(dāng)點(diǎn)H在N點(diǎn)上方時(shí),由PN=CQ,PN∥CQ,得到四邊形PNCQ為平行四邊形,所以當(dāng)PQ=CQ時(shí),四邊形FECQ為菱形,據(jù)此得到,解得t值;②當(dāng)點(diǎn)H在N點(diǎn)下方時(shí),NH=CQ=,NQ=CQ時(shí),四邊形NHCQ為菱形,NQ2=CQ2,得:,解得t值.

解:(1)由矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)A(1,4),

∵拋物線的頂點(diǎn)為A,

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+4,

代入點(diǎn)C(3, 0),可得a=-1.

∴y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.

(2)∵P(,4),

代入拋物線的解析式,y=-(x-1)2+4=,

∴M(, ),

設(shè)直線AC的解析式為,

將A(1,4),C(3,0)代入,得:,

代入得,

∴N(),

∴MN

,

∴當(dāng)t=2時(shí),△AMC面積的最大值為1.

(3)①如圖1,當(dāng)點(diǎn)H在N點(diǎn)上方時(shí),

∵N(),P(,4),

∴PN=4—()==CQ,

又∵PN∥CQ,

∴四邊形PNCQ為平行四邊形,

∴當(dāng)PQ=CQ時(shí),四邊形FECQ為菱形,

PQ2=PD2+DQ2

,

整理,得.解得, (舍去);

②如圖2當(dāng)點(diǎn)H在N點(diǎn)下方時(shí),

NH=CQ=,NQ=CQ時(shí),四邊形NHCQ為菱形,

NQ2=CQ2,得:

整理,得 .所以(舍去).

“點(diǎn)睛”此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題,會(huì)用頂點(diǎn)式求拋物線,會(huì)用兩點(diǎn)法求直線解析式,會(huì)設(shè)點(diǎn)并表示三角形的面積,熟悉矩形和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

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A.(﹣3,2)
B.(﹣2,﹣3)
C.(﹣2,3)
D.( 3,﹣2)

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為了便于調(diào)控,此工廠每天只生產(chǎn)一個(gè)檔次的產(chǎn)品.當(dāng)生產(chǎn)質(zhì)量檔次為x的產(chǎn)品時(shí),當(dāng)天的利潤(rùn)為y萬(wàn)元.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)工廠為獲得最大利潤(rùn),應(yīng)選擇生產(chǎn)哪個(gè)檔次的產(chǎn)品?并求出當(dāng)天利潤(rùn)的最大值.

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【題目】下列語(yǔ)句中正確的是(
A.正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)
B.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)
C.開方開不盡的數(shù)和π統(tǒng)稱為無理數(shù)
D.正數(shù)、0、負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

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A. 2 B. ﹣2 C. 12 D. ﹣12

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【題目】如圖,已知直線l與⊙O相離,OAl于點(diǎn)A,交⊙O于點(diǎn)P,OA=5,AB與⊙O相切于點(diǎn)B,BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C.

(1)求證:AB=AC;

(2)若,求⊙O的半徑.

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