Question

【題目】如圖，A、B兩點的坐標分別是（8，0）、（0，6），點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A作勻速直線運動，速度為每秒3個單位長度，點Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標原點）方向向點O作勻速直線運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ，若設運動時間為t（0＜t＜）秒．解答如下問題：

（1）當t為何值時，PQ∥BO？

（2）設△AQP的面積為S，

①求S與t之間的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；

②若我們規(guī)定：點P、Q的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標（x2﹣x1，y2﹣y1）稱為“向量PQ”的坐標．當S取最大值時，求“向量PQ”的坐標．

Answer 1

【答案】（1）當t=秒時，PQ∥BO（2）①S=（0＜t＜），5②（，﹣3）

【解析】解：（1）∵A、B兩點的坐標分別是（8，0）、（0，6），則OB=6，OA=8。

∴。

如圖①，當PQ∥BO時，AQ=2t，BP=3t，則AP=10﹣3t。

∵PQ∥BO，∴，即，解得t=。

∴當t=秒時，PQ∥BO。

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．

①如圖②所示，過點P作PD⊥x軸于點D，

則PD∥BO。

∴△APD∽△ABO。

∴，即，解得PD=6﹣t。

∴。

∴S與t之間的函數(shù)關系式為：S=（0＜t＜）。

∴當t=秒時，S取得最大值，最大值為5（平方單位）。

②如圖②所示，當S取最大值時，t=，

∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO。

又PD∥BO，∴此時PD為△OAB的中位線，則OD=OA=4。∴P（4，3）。

又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）。

依題意，“向量PQ”的坐標為（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．

∴當S取最大值時，“向量PQ”的坐標為（，﹣3）。

（1）如圖①所示，當PQ∥BO時，利用平分線分線段成比例定理，列線段比例式，求出t的值。

（2）①求S關系式的要點是求得△AQP的高，如圖②所示，過點P作過點P作PD⊥x軸于點D，構造平行線PD∥BO，由△APD∽△ABO得 求得PD，從而S可求出．S與t之間的函數(shù)關系式是一個關于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出S的最大值。

②求出點P、Q的坐標：當S取最大值時，可推出此時PD為△OAB的中位線，從而可求出點P的縱橫坐標，又易求Q點坐標，從而求得點P、Q的坐標；求得P、Q的坐標之后，代入“向量PQ”坐標的定義（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解。