Question

【題目】如圖1，在等邊和等邊中，，點(diǎn)P在的高上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，連接，.

（1）求證：；

（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，請(qǐng)你在圖2中作出圖形，并求出的長(zhǎng)；

（3）直接寫出線段長(zhǎng)度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析，； （3） .

【解析】

(1)利用條件證明,即可證明BD=CP;

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),求出∠BCE=30°,再利用三角函數(shù)解出BF即可.

(3) 取的中點(diǎn)，連接，證明，長(zhǎng)度的最小值就是DE長(zhǎng)的最小值，過(guò)點(diǎn)作于，求出PF即可.

（1）證明：是等邊三角形，

∴，，

∵是等邊三角形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）解：如圖2，

∵是等邊三角形，

∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，有，，

∵，

∴，，

∴，

∴，

在中，

∵，，

∴；

（3）長(zhǎng)度的最小值是，

理由是：如圖3，由（1）知：，

∴取的中點(diǎn)，連接，則，

∴長(zhǎng)度的最小值就是DE長(zhǎng)的最小值，

過(guò)點(diǎn)作于，垂足就是最小時(shí)點(diǎn)的位置，此時(shí)，故長(zhǎng)度的最小值是.