【題目】如圖,C為⊙O上的一點,P為直徑AB延長線上的一點,BH⊥CP于H交⊙O于D,∠PBH=2∠PAC.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若sin∠P= ,求 的值.
【答案】
(1)解:證明:連接OC,
∵OA=OC,
∴∠PAC=∠OCA,
∴∠COP=∠PAC+∠OCA=2∠PAC,
∵∠PBH=2∠PAC,
∴∠COP=∠OBH,
∴OC∥BH,
∵BH⊥CP,
∴OC⊥CP,
∴PC是⊙O的切線;
(2)解:設⊙O的半徑為2a,
在Rt△OCP中,sin∠P= ,OC⊥CP,
∴OP=3a,
∴PB=OP﹣OB=a,
作OG⊥DH,
則BG= BD,△OBG∽△PBH,
∴ ,
∴ .
【解析】(1)連接OC,根據(jù)等腰三角形的性質得到∠PAC=∠OCA,推出∠COP=∠OBH,得到OC∥BH,于是得到結論;(2)設⊙O的半徑為2a,解直角三角形得到OP=3a,PB=OP﹣OB=a,作OG⊥DH,根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論.
【考點精析】利用切線的判定定理和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲,乙兩輛汽車先后從A地出發(fā)到B地,甲車出發(fā)1小時后,乙車才出發(fā),如圖所示的l1和l2表示甲,乙兩車相對于出發(fā)地的距離y(km)與追趕時間x(h)之間的關系:
(1)哪條線表示乙車離出發(fā)地的距離y與追趕時間x之間的關系?
(2)甲,乙兩車的速度分別是多少?
(3)試分別確定甲,乙兩車相對于出發(fā)地的距離y(km)與追趕時間x(h)之間的關系式;
(4)乙車能在1.5小時內追上甲車嗎?若能,說明理由;若不能,求乙車出發(fā)幾小時才能追上甲?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】根據(jù)題意解答
(1)【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖①,在正方形ABCD的外側,作兩個等邊三角形ABE和ADF,連結ED與FC交于點M,則圖中△ADE≌△DFC,可知ED=FC,求得∠DMC= .
(2)【拓展應用】如圖②,在矩形ABCD(AB>BC)的外側,作兩個等邊三角形ABE和ADF,連結ED與FC交于點M.
(i)求證:ED=FC.
(ii)若∠ADE=20°,求∠DMC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點的橫坐標分別為﹣1,3,則下列結論正確的個數(shù)有( ) ①ac<0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④對于任意x均有ax2+bx≥a+b.
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,∠MON=45°,OA1=1,作正方形A1B1C1A2 , 面積記作S1;再作第二個正方形A2B2C2A3 , 面積記作S2;繼續(xù)作第三個正方形A3B3C3A4 , 面積記作S3;點A1、A2、A3、A4…在射線ON上,點B1、B2、B3、B4…在射線OM上,…依此類推,則第6個正方形的面積S6是( )
A.256
B.900
C.1024
D.4096
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】列方程解應用題:
為了緩解北京市西部地區(qū)的交通擁堵現(xiàn)象,市政府決定修建本市的第一條磁浮地鐵線路﹣﹣“S1線”.該線路連接北京城區(qū)與門頭溝,西起石門營,向東經(jīng)蘋果園,終點至慈壽寺與6號線和10號線相接.為使該工程提前4個月完成,在保證質量的前提下,必須把工作效率提高10%.問原計劃完成這項工程需用多少個月.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:在△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC.
(1)如圖1,P,Q是BC邊上兩點,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度數(shù);
(2)點P,Q是BC邊上兩動點(不與B,C重合),點P在點Q左側,且AP=AQ,點Q關于直線AC的對稱點為M,連接AM,PM.
①依題意將圖2補全;
②小明通過觀察和實驗,提出猜想:在點P,Q運動的過程中,始終有PM=PA.他把這個猜想與同學們進行交流,通過討論,形成以下證明猜想的思路:
(Ⅰ)要想證明PM=PA,只需證△APM為等腰直角三角形;
(Ⅱ)要想證明△APM為等腰直角三角形,只需證∠PAM=90°,PA=AM;
…
請參考上面的思路,幫助小明證明PM=PA.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】高臺縣為加快新農(nóng)村建設,建設美麗鄉(xiāng)村,對A、B兩類村莊進行了全面改建.根據(jù)預算,建設一個A類美麗村莊和一個B類美麗村莊共需資金300萬元;巷道鎮(zhèn)建設了2個A類村莊和5個B類村莊共投入資金1140萬元.
(1)建設一個A類美麗村莊和一個B類美麗村莊所需的資金分別是多少萬元?
(2)駱駝城鎮(zhèn)改建3個A類美麗村莊和6個B類美麗村莊共需資金多少萬元?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知∠ABC=90°,點P為射線BC上任意一點(點P與點B不重合),分別以AB、AP為邊在∠ABC的內部作等邊△ABE和△APQ,連接QE并延長交BP于點F.
(1)如圖1,若AB=,點A,E,P恰好在一條直線上時,求EF的長(直接寫出結果);
(2)如圖2,當點P為射線BC上任意一點時,求證:BF=EF;
(3)若AB=,設BP=2,求QF的長.
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