Question

（2012•順義區(qū)一模）如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我們把菱形ABCD的對(duì)稱中心稱作菱形的中心．菱形ABCD在直線l上向右作無滑動(dòng)的翻滾，每繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°叫一次操作，則經(jīng)過1次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為

3

3

π

；經(jīng)過18次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過的路徑總長(zhǎng)為

(4

3

+2)π

；經(jīng)過3n（n為正整數(shù)）次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過的路徑總長(zhǎng)為

2 3 +1

3

nπ

．（結(jié)果都保留π）

Answer 1

分析：從圖中可以看出，第一次旋轉(zhuǎn)是以點(diǎn)A為圓心，那么菱形中心旋轉(zhuǎn)的半徑就是OA，解直角三角形可求出OA的長(zhǎng)，圓心角是60度．第二次還是以點(diǎn)A為圓心，那么菱形中心旋轉(zhuǎn)的半徑就是OA，圓心角是60度．第三次就是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，OB為半徑，旋轉(zhuǎn)的圓心角為60度．旋轉(zhuǎn)到此菱形就又回到了原圖．故這樣旋轉(zhuǎn)18次，就是這樣的6個(gè)弧長(zhǎng)的總長(zhǎng)，依此計(jì)算即可得，進(jìn)而得出經(jīng)過3n（n為正整數(shù)）次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過的路徑總長(zhǎng)．

解答：解：∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
BO=DO=1，
AO=

AD2-DO2

=

3

，
第一次旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)=

60π× 3

180

=

3

3

π，
∵第一、二次旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)和=

60π× 3

180

+

60π× 3

180

=

3

3

π+

3

3

π=

2 3

3

π，
第三次旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)為：

60π×1

180

=

π

3

∵18÷3=6，
故中心O所經(jīng)過的路徑總長(zhǎng)=6（

2 3

3

π+

π

3

）=（4

3

+2）π，
故經(jīng)過3n（n為正整數(shù)）次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過的路徑總長(zhǎng)為：n×（

2 3

3

π+

π

3

）=

2 3 +1

3

nπ．
故答案為：

3

3

π，（4

3

+2）π，

2 3 +1

3

nπ．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式以及菱形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出菱形每轉(zhuǎn)動(dòng)3次一循環(huán)進(jìn)而得出經(jīng)過路徑是解題的關(guān)鍵．