(2013•郴州)如圖,△ABC中,AB=BC,AC=8,tanA=k,P為AC邊上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)PC=x,作PE∥AB交BC于E,PF∥BC交AB于F.
(1)證明:△PCE是等腰三角形;
(2)EM、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高,用含x和k的代數(shù)式表示EM、FN,并探究EM、FN、BH之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)當(dāng)k=4時(shí),求四邊形PEBF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式.x為何值時(shí),S有最大值?并求出S的最大值.
分析:(1)根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A=∠C,然后根據(jù)兩直線平行,同位角相等求出∠CPE=∠A,從而得到∠CPE=∠C,即可得證;
(2)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出CM=
1
2
CP,然后求出EM,同理求出FN、BH的長(zhǎng),再根據(jù)結(jié)果整理可得EM+FN=BH;
(3)分別求出EM、FN、BH,然后根據(jù)S△PCE,S△APF,S△ABC,再根據(jù)S=S△ABC-S△PCE-S△APF,整理即可得到S與x的關(guān)系式,然后利用二次函數(shù)的最值問題解答.
解答:(1)證明:∵AB=BC,
∴∠A=∠C,
∵PE∥AB,
∴∠CPE=∠A,
∴∠CPE=∠C,
∴△PCE是等腰三角形;

(2)解:∵△PCE是等腰三角形,EM⊥CP,
∴CM=
1
2
CP=
x
2
,tanC=tanA=k,
∴EM=CM•tanC=
x
2
•k=
kx
2
,
同理:FN=AN•tanA=
8-x
2
•k=4k-
kx
2
,
由于BH=AH•tanA=
1
2
×8•k=4k,
而EM+FN=
kx
2
+4k-
kx
2
=4k,
∴EM+FN=BH;

(3)解:當(dāng)k=4時(shí),EM=2x,F(xiàn)N=16-2x,BH=16,
所以,S△PCE=
1
2
x•2x=x2,S△APF=
1
2
(8-x)•(16-2x)=(8-x)2,S△ABC=
1
2
×8×16=64,
S=S△ABC-S△PCE-S△APF,
=64-x2-(8-x)2,
=-2x2+16x,
配方得,S=-2(x-4)2+32,
所以,當(dāng)x=4時(shí),S有最大值32.
點(diǎn)評(píng):本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì),銳角三角函數(shù),二次函數(shù)的最值問題,表示出各三角形的高線是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2013•郴州)如圖,已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AF=CE,求證:四邊形DEBF是平行四邊形.

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(2013•郴州)如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一點(diǎn).將Rt△ABC沿CD折疊,使B點(diǎn)落在AC邊上的B′處,則∠ADB′等于( 。

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20
20
°.

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(2013•郴州)如圖,在直角梯形AOCB中,AB∥OC,∠AOC=90°,AB=1,AO=2,OC=3,以O(shè)為原點(diǎn),OC、OA所在直線為軸建立坐標(biāo)系.拋物線頂點(diǎn)為A,且經(jīng)過點(diǎn)C.點(diǎn)P在線段AO上由A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在線段OC上由C向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),QD⊥OC交BC于點(diǎn)D,OD所在直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)E′是E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形OEAE′是菱形?
(3)點(diǎn)P、Q分別以每秒2個(gè)單位和3個(gè)單位的速度同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),PB∥OD?

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