Question

【題目】如圖①，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E，F分別在AB與BC上，且∠EDF=45°，易證：AE+CF=EF（不用證明）．

（1）如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，點(diǎn)E，F分別在AB與BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB與∠BCD互補(bǔ)，點(diǎn)E，F分別在AB與BC上，且∠EDF=α，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE，CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明．

Answer 1

【答案】（1）AE+CF=EF，證明見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題干中截長(zhǎng)補(bǔ)短的提示，再結(jié)合第（1）問(wèn)的證明結(jié)論，在第二問(wèn)可以用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法來(lái)構(gòu)造全等，從而達(dá)到證明結(jié)果．

（2）同理作輔助線，同理進(jìn)行即可，直接寫(xiě)出猜想，并證明．

（1）圖2猜想：AE+CF=EF，

證明：在BC的延長(zhǎng)線上截取CA'=AE，連接A'D，

∵∠DAB=∠BCD=90°，

∴∠DAB=∠DCA'=90°，

又∵AD=CD，AE=A'C，

∴△DAE≌△DCA'（SAS），

∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，

∵∠ADC=120°，

∴∠EDA'=120°，

∵∠EDF=60°，

∴∠EDF=∠A'DF=60°，

又DF=DF，

∴△EDF≌△A'DF（SAS），

則EF=A'F=FC+CA'=FC+AE；

（2）如圖3，AE+CF=EF，

證明：在BC的延長(zhǎng)線上截取CA'=AE，連接A'D，

∵∠DAB與∠BCD互補(bǔ)，∠BCD+∠DCA'=180°

∴∠DAB=∠DCA'，

又∵AD=CD，AE=A'C，

∴△DAE≌△DCA'（SAS），

∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，

∵∠ADC=2α，

∴∠EDA'=2α，

∵∠EDF=α，

∴∠EDF=∠A'DF=α

又DF=DF，

∴△EDF≌△A'DF（SAS），

則EF=A'F=FC+CA'=FC+AE．