Question

【題目】如圖，AB⊥BC，射線CM⊥BC，且BC＝5，AB＝1，點P是線段BC （不與點B、C重合）上的動點，過點P作DP⊥AP交射線CM于點D，連結(jié)AD．

（1）如圖1，當BP＝　 　時，△ADP是等腰直角三角形．（請直接寫出答案）

（2）如圖2，若DP平分∠ADC，試猜測PB和PC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

（3）若△PDC是等腰三角形，作點B關(guān)于AP的對稱點B′，連結(jié)B′D，請畫出圖形，并求線段B′D的長度．（參考定理：若直角△ABC中，∠C是直角，則BC2+AC2＝AB2）

Answer 1

【答案】（1）4；

（2）PB和PC的數(shù)量關(guān)系：PB＝PC，證明見解析；

（3）線段B′D的長度為5．

【解析】

（1）若△ADP是等腰直角三角形．則AP＝DP，必須要求△APB≌△PDC，則,所以BP＝4；

（2）延長線段AP、DC交于點E,則△DPA≌△DPE，PA＝PE，進一步可證明△APB≌△EPC，則PB＝PC；

（3）先按要求作出圖形，然后將B′D放在直角三角形中，利用勾股定理求出B′D的長度.

解：（1）當BP＝4時，CP＝BC﹣BP＝5＝4＝1，

∵AB＝1，

∴AB＝PC，

∵AB⊥BC，DP⊥AP，CM⊥BC，

∴∠B＝∠C＝90°，∠APB+∠DPC＝90°＝∠PDC+∠DPC，

∴∠APB＝∠PDC，

在△APB和△PDC中，

∴△APB≌△PDC（AAS），

∴AP＝DP，

又∵∠APD＝90°，

∴△ADP是等腰直角三角形，

故答案為：4；

（2）PB和PC的數(shù)量關(guān)系：PB＝PC，

證明：如圖2，延長線段AP、DC交于點E，

∵DP平分∠ADC，

∴∠ADP＝∠EDP．

∵DP⊥AP，

∴∠DPA＝∠DPE＝90°．

在△DPA和△DPE中，

∴△DPA≌△DPE（ASA），

∴PA＝PE．

∵AB⊥BP，CM⊥CP，

∴∠ABP＝∠ECP＝90°．

在△APB和△EPC中，

∴△APB≌△EPC（AAS），

∴PB＝PC；

（3）如圖，連接B'P，過點B'作B'F⊥CD于F，則∠B'FC＝∠C＝90°，

∵△PDC是等腰三角形，

∴△PCD為等腰直角三角形，即∠DPC＝45°，

又∵DP⊥AP，

∴∠APB＝45°，

∵點B關(guān)于AP的對稱點為點B′，

∴∠BPB'＝90°，∠APB＝45°，BP＝B'P，

∴△ABP為等腰直角三角形，四邊形B'PCF是矩形，

∴BP＝AB＝1＝B'P，PC＝5＝1＝4＝B'F，CF＝B'P＝1，

∴B'F＝4，DF＝4﹣1＝3，

∴Rt△B'FD中，B'D＝ ＝5，

故線段B′D的長度為5．