Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，延長DO交⊙O于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作射線DE交BC的延長線于F點(diǎn)，連接PF．

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的長；（結(jié)果保留π）

（2）求證：OD=OE；

（3）求證：PF是⊙O的切線．

Answer 1

（1）2π；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)弧長計(jì)算公式l=進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）證明△POE≌△ADO可得DO=EO；

（3）連接AP，PC，證出PC為EF的中垂線，再利用△CEP∽△CAP找出角的關(guān)系求解．

試題解析：（1）【解析】
∵AC=12，

∴CO=6，

∴==2π；

（2）證明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，

∠PEA=90°，∠ADO=90°

在△ADO和△PEO中，

，

∴△POE≌△AOD（AAS），

∴OD=EO；

（3）證明：如圖，連接AP，PC，

∵OA=OP，

∴∠OAP=∠OPA，

由（1）得OD=EO，

∴∠ODE=∠OED，

又∵∠AOP=∠EOD，

∴∠OPA=∠ODE，

∴AP∥DF，

∵AC是直徑，

∴∠APC=90°，

∴∠PQE=90°

∴PC⊥EF，

又∵DP∥BF，

∴∠ODE=∠EFC，

∵∠OED=∠CEF，

∴∠CEF=∠EFC，

∴CE=CF，

∴PC為EF的中垂線，

∴∠EPQ=∠QPF，

∵△CEP∽△CAP

∴∠EPQ=∠EAP，

∴∠QPF=∠EAP，

∴∠QPF=∠OPA，

∵∠OPA+∠OPC=90°，

∴∠QPF+∠OPC=90°，

∴OP⊥PF，

∴PF是⊙O的切線．

考點(diǎn)：弧長公式，三角形全等，切線的性質(zhì)