Question

【題目】已知：△ABC中，AB=AC，∠B=α．
（1）如圖1，點D，E分別在邊AB，AC上，線段DE的垂直平分線MN交直線BC于點M，交DE于點N，求證：BD+CE=BC．需補充條件∠EMN=（用含α的式子表示）補充條件后并證明；

（2）把（1）中的條件改為點D，E分別在邊BA、AC延長線上，線段DE的垂直平分線MN交直線BC于點M，交DE于點N（如圖2），并補充條件∠EMN=（用含α的式子表示），通過觀察或測量，猜想線段BD，CE與BC之間滿足的數(shù)量關系，并予以證明．

Answer 1

【答案】
（1）
α
（2）
α
【解析】解：（1）當∠EMN= α時，BD+CE=BC．
理由：如圖1所示：連接DM．

∵AB=AC，
∴∠B=∠C=α．
∵MN是DE的垂直平分線，
∴DN=NE，DM=EM．
在△MND和△MNE中，
，
∴△MND≌△MNE．
∴∠DMN=∠EMN= α．
∴∠DME=α．
∵∠C+∠CEM=∠DMB+∠DME，∠C=∠DME=α，
∴∠DMB=∠CEM．
在△BDM和△CME中，
，
∴△BDM≌△CME．
∴BD=MC，EC=BM．
又∵MB+MC=BC，
∴BD+EC=BC．
2）當∠EMN= α時，BD=CE+BC．

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DBM=∠MCE．
∵MN是DE的垂直平分線，
∴DN=NE，DM=EM．
在△MND和△MNE中，
，
∴△MND≌△MNE．
∴∠DMN=∠EMN= α．
∴∠EMD=∠B=α
∵∠BMD+∠MDB=α，∠EMC+∠CMD=α，
∴∠EMC=∠MDB．
在△BDM和△CME中，
，
∴△BDM≌△CME．
∴BD=MC，EC=BM．
又∵MB+BC=MC，
∴EC+BC=BD．
（1）當∠EMN= α時，BD+CE=BC．連接DM．先證明∠DME=α．接下來證明∠DMB=∠CEM．然后依據(jù)AAS可證明△BDM≌△CME，然后由全等三角形的性質可證得BD=MC，EC=BM，結合條件MB+MC=BC，可證得問題的結論；（2）當∠EMN= α時，BD=CE+BC．先證明∠DMN=∠EMN= α．從而得到∠EMD=∠B=α，接下來，依據(jù)等角的補角相等可證得∠DBM=∠MCE，然后依據(jù)三角形的外角的性質和角的和差關系證明∠MDB=∠EMC，然后依據(jù)AAS可證明△BDM≌△CME，由全等三角形的性質可得到BD=MC，EC=BM，結合MB+BC=MC可證得EC+BC=BD．