Question

如圖，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A（3，0），B（3，4），動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)O、B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)N作NP∥OC，交AC于點(diǎn)P，連接MP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒，△MPA的面積為S．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（用含x的代數(shù)式表示）
（2）寫(xiě)出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
（3）當(dāng)△APM與△ACO相似時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（4）△PMA能否成為等腰三角形？如能，直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；如不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先確定直線AB的解析式，以及N點(diǎn)的坐標(biāo)后可以確定P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再把它代入直線方程解出P點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）由P點(diǎn)的縱坐標(biāo)可以知道△MPA中邊AM上的高，再求出AM的長(zhǎng)，即可求得三角形面積．
（3）當(dāng)△APM與△ACO相似時(shí)∠APM=90°，

AP

AM

=

AO

AC

或者

AM

AP

=

AO

AC

，根據(jù)這個(gè)式子列出等量關(guān)系可以求得x的值．進(jìn)而求得P點(diǎn)坐標(biāo)．
（4）△PMA能成為等腰三角形時(shí)，有兩邊長(zhǎng)相等，此時(shí)分三種情況①AM=AP；②AP=PM；③MP=MA；根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
過(guò)點(diǎn)A（3，0）、C（0，4），解得：
y=-

4

3

x+4，
N點(diǎn)坐標(biāo)為（3-x，4），所以P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：3-x，
代入直線解析式得縱坐標(biāo)為

4

3

x，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為：（3-x，

4

3

x）；

（2）AM邊上的高為P點(diǎn)縱坐標(biāo)，
所以有：h=

4

3

x，
M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），
AM=3-x，
所以有：S=

1

2

AM•h，
解得：S=-

2

3

x2+2x=-

2

3

(x-

3

2

)2 +

3

2

，
解得S的最大值為

3

2

，

（3）由題目可知AO=3，AC=5，AM=3-x，AP=

5

3

x，
∵

AP

AM

=

AO

AC

∴

5 3 x

3-x

=

3

5

，解得：
x=

27

34

，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（

75

34

，

18

17

），
同理可得當(dāng)

AM

AP

=

AO

AC

時(shí)，
P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，2）；
故有P點(diǎn)坐標(biāo)為：P₁（

75

34

，

18

17

）、P₂（

3

2

，2）；

（4）△PMA能成為等腰三角形，
有三種情況：①AM=AP時(shí)，[3-（3-x）]²+(0-

4

3

x)2=（3-x）²，
解得：x₁=

9

8

，x₂=-

9

2

（舍去），
∴3-x=

15

8

，

4

3

x=

3

2

，
∴P的坐標(biāo)是（

15

8

，

3

2

），
②AP=PM時(shí)，[3-（3-x）]²+(0-

4

3

x)2=[（3-x）-x]²+(

4

3

x-0)2，
解得：x₁=1，x₂=3（舍去），
∴3-x=2，

4

3

x=

4

3

，
∴P的坐標(biāo)是（2，

2

3

），
③MP=MA時(shí)，[（3-x）-x]²+(

4

3

x-0)2=（3-x）²，
解得：x₁=0（舍去），x₂=

54

43

，
∴3-x=

75

43

，

4

3

x=

72

43

，
∴P的坐標(biāo)是（

75

43

，

72

43

），
即P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
P₁（2，

4

3

）、P₂（

15

8

，

3

2

）、P₃（

75

43

，

72

43

）．
答：△PMA能成為等腰三角形，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
P₁（2，

4

3

）、P₂（

15

8

，

3

2

）、P₃（

75

43

，

72

43

）．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于綜合題，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和最值求法，同時(shí)還考查了三角形的相關(guān)知識(shí)．