Question

一個弓形橋洞截面示意圖如圖所示，圓心為O，弦AB是水底線，OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB=，DE是水位線，DE∥AB．

（1）當水位線DE=4m時，求此時的水深；

（2）若水位線以一定的速度下降，當水深8m時，求此時∠ACD的余切值．

Answer 1

解：（1）延長CO交DE于點F，連接OD

∵OC⊥AB，OC過圓心，AB=24m，

∴BC=AB=12m．

在Rt△BCO中，sin∠COB==，

∴OB=13mCO=5m．

∵DE∥AB，

∴∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．

又∵OF過圓心，

∴DF=DE=×4=2m．

在Rt△DFO中，OF===7m，

∴CF=CO+OF=12m，即當水位線DE=4m時，此時的水深為12m；

（2）若水位線以一定的速度下降，當水深8m時，即CF=8m，則OF=CF﹣OC=3m，

連接CD，在Rt△ODF中，DF===4m．

在Rt△CDF中，cot∠CDF==．

∵DE∥AB，

∴∠ACD=∠CDE，

∴cot∠ACD=cot∠CDF=．

答：若水位線以一定的速度下降，當水深8m時，此時∠ACD的余切值為．