Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣2ax+3的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，已知BO=CO．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E在線段OB上，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)P，連結(jié)PA，若PA⊥CE，垂足為點(diǎn)F，求OE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）OE的長(zhǎng)為

【解析】

（1）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由OB=OC可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）設(shè)PA交y軸于點(diǎn)D，由∠ADO=∠CDF利用等角的余角相等可得出∠PAB=∠OCE，結(jié)合∠PEA=∠EOC=90°可得出△PEA∽△EOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出=，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，0），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3），進(jìn)而可得出關(guān)于x的方程，解之即可得出結(jié)論．

（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∴OB=OC=3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

∵拋物線y=ax2﹣2ax+3的圖象過(guò)點(diǎn)B（3，0），∴0=9a﹣6a+3，解得：a=﹣1，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）設(shè)PA交y軸于點(diǎn)D，如圖所示．

∵PA⊥CE，∴∠EFA=∠EOC=90°．

∵∠ADO=∠CDF，∴∠PAB=∠OCE．

∵PE⊥x軸，∴∠PEA=∠EOC=90°，∴△PEA∽△EOC，∴=．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，0），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+3），∴=，解得：x=或x=－1（舍去），即OE的長(zhǎng)為．