【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,BC=2.點P從點A出發(fā)沿沿射線AB以1的速度運動,過點P作PE∥BC交射線AC于點E,同時點Q從點C出發(fā)沿BC的延長線以1的速度運動,連結(jié)BE、EQ.設點P的運動時間為t().
(1)求證:△APE是等邊三角形;
(2)直接寫出CE的長(用含的代數(shù)式表示);
(3)當點P在邊AB上,且不與點A、B重合時,求證:△BPE≌△ECQ.
(4)在不添加字母和連結(jié)其它線段的條件下,當圖中等腰三角形的個數(shù)大于3時,直接寫出t的值和對應的等腰三角形的個數(shù).
【答案】(1)見解析;(2)2-t或t-2;(3)見解析;(4)當t=1時,圖中有5個等腰三角形;當t=4時,圖中有4個等腰三角形
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=∠ABC=∠ACB =60°,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APE=∠ABC=60°,∠AEP=∠ACB=60°,再利用等邊三角形的判定即可得證;
(2)由(1)可得AE=AP=t,分E沒過C點與過C點兩種情況進行解答即可;
(3)△ABC與△APE都是是等邊三角形,利用等邊三角形的性質(zhì)易證BP=EC,∠BPE=∠ECQ=120°,再通過“邊角邊”證明△BPE≌△ECQ即可;
(4)當P在AB的中點,即t=1時,圖中有5個等腰三角形;當P點在AP=2AB,即t=4時,圖中有4個等腰三角形.
(1)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠A=∠ABC=∠ACB =60°,
∵,
∴∠APE=∠ABC=60°,∠AEP=∠ACB=60°.
∴△APE是等邊三角形;
(2)∵△APE是等邊三角形,
∴AE=AP=t,
當E點沒過C點時,AE=2﹣t;
當E點過了C點時,AE=t﹣2;
(3)∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠ACB=60°.
∵△APE是等邊三角形,
∴AP=PE=AE,∠APE=60°.
∴AB-AP=AC-AE,∠BPE=∠ECQ=120°,
∴BP=EC,
∵AP=CQ=t,
∴PE=CQ,
∴△BPE≌ECQ(SAS);
(4)如圖1,當t=1時,圖中有5個等腰三角形:△ABC,△APE,△PBE,△CQE,△EBQ;
如圖2,當t=4時,圖中有4個等腰三角形:△ABC,△APE,△CBE,△EQB.
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【題目】閱讀下面材料:
小明遇到這樣一個問題:如圖1,在△ABC中,DE∥BC分別交AB于D,交AC于E. 已知CD⊥BE,CD=3,BE=5,求BC+DE的值.
小明發(fā)現(xiàn),過點E作EF∥DC,交BC延長線于點F,構(gòu)造△BEF,經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決(如圖2).
(1)求證:DE=CF
(2)求BC+DE的值
(3)參考小明思考問題的方法,解決問題:
如圖3,已知ABCD和矩形ABEF,AC與DF交于點G,AC=BF=DF,求∠AGF的度數(shù).
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【題目】“安全教育,警鐘長鳴”,為此某校從14 000名學生中隨機抽取了200名學生就安全知識的了解情況進行問卷調(diào)查,然后按“很好”、“較好”、“一般”、“較差”四類匯總分析,并繪制了扇形統(tǒng)計圖(如圖甲).
(1)補全扇形統(tǒng)計圖,并計算這200名學生中對安全知識了解“較好”、“很好”的總?cè)藬?shù);
(2)在圖乙中,繪制樣本頻數(shù)的條形統(tǒng)計圖;
(3)根據(jù)以上信息,請?zhí)岢鲆粭l合理化建議.
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【題目】在美化校園的活動中,某綜合實踐小組的同學借如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長),用28m長的籬笆圍成一個矩形的花圃ABCD(籬笆只圍AB、BC兩邊)設AB=xm.
(1)若想圍得花圃面積為192cm2,求x的值;
(2)若在點P處有一棵小樹與墻CD、AD的距離分別為15m和6m,要將這棵樹圍在花圃內(nèi)(含邊界,不考慮樹干的粗細),求花圃面積S的最大值.
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【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中有四邊形ABCD.
(1)寫出四邊形ABCD的頂點坐標;
(2)求線段AB的長;
(3)求四邊形ABCD的面積.
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【題目】某企業(yè)新增了一個化工項目,為了節(jié)約資源,保護環(huán)境,該企業(yè)決定購買A、B兩種型號的污水處理設備共8臺,具體情況如下表:
經(jīng)預算,企業(yè)最多支出89萬元購買設備,且要求月處理污水能力不低于1380噸.
(1)該企業(yè)有幾種購買方案?
(2)哪種方案更省錢,說明理由.
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【題目】乘法公式的探究及應用
(1)如圖1,可以求出陰影部分的面積是 (寫成兩數(shù)平方差的形式);
(2)如圖2,若將陰影部分裁剪下來,重新拼成一個矩形,面積是 (寫成多項 式乘法的形式);
(3)比較圖1、圖2 陰影部分的面積,可以得到公式 ;
(4)運用你所得到的公式,計算:(a+b-2c)(a-b+2c).
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【題目】如圖,已知△ABC的周長是20,OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于點D,且OD=3,則△ABC的面積是( 。
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
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