Question

已知關于x的方程kx²+（2k-1）x+k-1=0只有整數(shù)根，且關于y的一元二次方程（k-1）y²-3y+m=0有兩個實數(shù)根y₁和y₂
（1）當k為整數(shù)時，確定k的值；
（2）在（1）的條件下，若m≥-2的整數(shù)，試求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）要分兩種情況討論：
①k=0時，（1）方程為一元一次方程，可計算出此時方程的根是否為整數(shù)，若是，則k=0符合要求；
②k≠0時，（1）方程為一元二次方程，用因式分解法求出該方程的兩個根，再根據(jù)這個方程只有整數(shù)根的特點，求出k的整數(shù)值，再根據(jù)的判別式將不合題意的k值舍去．
（2）將（1）得出的k值代入方程（2）中，首先根據(jù)根的判別式判斷出m的范圍，

解答：解：（1）當k=0時，方程kx²+（2k-1）x+k-1=0化為-x-1=0，x=-1，方程有整數(shù)根，
當k≠0時，方程（1）可化為（x+1）（kx+k-1）=0
解得x₁=-1，x₂=

-k+1

k

=-1+

1

k

；
∵方程（1）的根是整數(shù)，所以k為整數(shù)的倒數(shù)．
∵k是整數(shù)
∴k=±1
此時△=（2k-1）²-4k（k-1）=1＞0
但當k=1時，（k-1）y²-3y+m=0不是一元二次方程
∴k=1舍去
∴k=0，k=-1；

（2）當k=0時，方程（2）化為-y²-3y+m=0
∵方程（2）有兩個實數(shù)根
∴△=9+4m≥0，即m≥-

9

4

，若m≥-2
∴當m≥-2時，
∴m的最小值為-2；
當k=-1時，方程（2）化為-2y²-3y+m=0，方程有兩個實數(shù)根
∴△=9+8m≥0，即m≥-

9

8

∵m≥-2，
∴m≥-

9

8

，
∵m為整數(shù)
∴此時m的最小值為-1．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關系以及根的判別式；需注意的是（1）題不要忽略了（1）方程為一元一次方程的情況．