Question

如圖所示，直線l：y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，拋物線過點(diǎn)B、C和D（3，0）．

（1）求直線BD和拋物線的解析式．

（2）若BD與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S_△PBD=6？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=﹣x+3，y=x²﹣4x+3；（2）（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）；（3）存在，（4，3）或（﹣1，8）.

【解析】

試題分析：（1）由待定系數(shù)法求出直線BD和拋物線的解析式；

（2）首先確定△MCD為等腰直角三角形，因?yàn)椤鰾ND與△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答圖1所示，符合條件的點(diǎn)N有3個(gè)；

（3）如答圖2、答圖3所示，解題關(guān)鍵是求出△PBD面積的表達(dá)式，然后根據(jù)S_△PBD=6的已知條件，列出一元二次方程求解.

試題解析：（1）∵直線l：y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴A（﹣1，0），B（0，3）.

∵把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，∴C（1，0）.

設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，

∵點(diǎn)B（0，3），D（3，0）在直線BD上，∴，解得.

∴直線BD的解析式為：y=﹣x+3.

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x﹣1）（x﹣3），

∵點(diǎn)B（0，3）在拋物線上，∴3=a×（﹣1）×（﹣3），解得：a=1.

∴拋物線的解析式為：y=（x﹣1）（x﹣3）=x²﹣4x+3.

（2）∵拋物線的解析式為：y=x²﹣4x+3=（x﹣2）²﹣1，

∴拋物線的對稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）.

直線BD：y=﹣x+3與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M，令x=2，得y=1，∴M（2，1）.

設(shè)對稱軸與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)F，則CF=FD=MN=1，∴△MCD為等腰直角三角形.

∵以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，∴△BND為等腰直角三角形.

如答圖1所示：

（I）若BD為斜邊，則易知此時(shí)直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，∴N₁（0，0）.

（II）若BD為直角邊，B為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上，∵OB=OD=ON₂=3，∴N₂（﹣3，0）.

（III）若BD為直角邊，D為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上，∵OB=OD=ON₃=3，∴N₃（0，﹣3）.

∴滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）.

（3）存在，假設(shè)存在點(diǎn)P，使S_△PBD=6，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），

（I）當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD上方時(shí)，如答圖2所示，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則PE=n，DE=m﹣3，

S_△PBD=S_梯形PEOB﹣S_△BOD﹣S_△PDE=（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n=6，化簡得：m+n=7 ①.

∵P（m，n）在拋物線上，∴n=m²﹣4m+3，代入①式整理得：m²﹣3m﹣4=0，解得：m₁=4，m₂=﹣1.

∴n₁=3，n₂=8. ∴P₁（4，3），P₂（﹣1，8）.

（II）當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD下方時(shí)，如答圖3所示，過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，

則PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n，

S_△PBD=S_梯形PEOD+S_△BOD﹣S_△PBE=（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m=6，化簡得：m+n=﹣1 ②.

∵P（m，n）在拋物線上，∴n=m²﹣4m+3.

代入②式整理得：m²﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程無解．∴此時(shí)點(diǎn)P不存在.

綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使S_△PBD=6，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）或（﹣1，8）.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.翻折問題；3.待定系數(shù)法的應(yīng)用；4.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；6.相似三角形的性質(zhì)；7.解一元二次方程；8.圖形面積計(jì)算；9.轉(zhuǎn)換思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類思想的應(yīng)用.