Question

（2010•臺(tái)灣）如圖，有一圓內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH，若△ADE的面積為10，則正八邊形ABCDEFGH的面積為何（ ）

A．40
B．50
C．60
D．80

Answer 1

【答案】分析：過(guò)C作CL⊥AD于L，連接HE，設(shè)正八邊形的邊長(zhǎng)為a，AD=h；先根據(jù)△ADE的面積求出矩形ADEH的面積，再根據(jù)正多邊形內(nèi)角和定理求出各內(nèi)角的度數(shù)，判斷出△CDL的形狀，求出邊長(zhǎng)；進(jìn)一步可求出梯形ABCD的面積，根據(jù)S_{正八邊形ABCDEFGH}=S_梯形ABCD+S_梯形ABCD+S_矩形ADEH即可解答．
解答：解：過(guò)C作CL⊥AD于L，連接HE，則四邊形ADEH是矩形；
設(shè)正八邊形的邊長(zhǎng)為a，AD=h，
則S_△ADE=DE•AD=ah=10，ah=20，即S_矩形ADEH=20，
∵正八邊形的內(nèi)角度數(shù)為=135°，
∴∠LCD=135°-90°=45°，
∴△CDL是等腰直角三角形，設(shè)CL=x，
∴CD²=CL²+LD²，即a²=x²+x²，x=a，
∴AD=h=a+a，
∵ah=20，
∴（1+）a²=20，a²=，
∴S_梯形ABCD=====10，
同理，S_梯形EFGH=10，
∴S_{正八邊形ABCDEFGH}=S_梯形ABCD+S_梯形ABCD+S_矩形ADEH=10+10+20=40．
故選A．

另解：取AE中點(diǎn)I，則點(diǎn)I為圓的圓心，圓內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH是由8個(gè)與△IDE全等的三角形構(gòu)成．易得△IDE的面積為5，則圓內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH為8×5=40．
點(diǎn)評(píng)：本題比較復(fù)雜，涉及到正多邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及梯形的面積公式，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造出直角三角形解答．