【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線,過點(diǎn)A作AE⊥CD,AE分別與CD、CB相交于點(diǎn)H、E,AH=2CH.
(1)求sinB的值;
(2)如果CD=,求BE的值.
【答案】(1)(2)3
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)∠ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線,可得出CD=BD,則∠B=∠BCD,再由AE⊥CD,可證明∠B=∠CAH,由AH=2CH,可得出CH:AC=1:,即可得出sinB的值;
(2)根據(jù)sinB的值,可得出AC:AB=1:,再由AB=2,得AC=2,則CE=1,從而得出BE.
解:(1)∵∠ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線,
∴CD=BD,
∴∠B=∠BCD,
∵AE⊥CD,
∴∠CAH+∠ACH=90°,
又∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACH=90°
∴∠B=∠BCD=∠CAH,即∠B=∠CAH,
∵AH=2CH,
∴由勾股定理得AC=CH,
∴CH:AC=1:,
∴sinB=;
(2)∵sinB=,
∴AC:AB=1:,
∴AC=2.
∵∠CAH=∠B,
∴sin∠CAH=sinB==,
設(shè)CE=x(x>0),則AE=x,則x2+22=(x)2,
∴CE=x=1,AC=2,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
∵AB=2CD=2,
∴BC=4,
∴BE=BC﹣CE=3.
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(1)如圖(1),求證:FE=FB;
(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上移動時,點(diǎn)A′的位置也隨之變化,
①當(dāng)點(diǎn)A′恰好落在線段BD上時,如圖(2),求AE的長;
②在運(yùn)動變化過程中,設(shè)AE=x,CF=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,試判斷EF能否平分矩形ABCD的面積?若能,求出x的值;若不能,則說明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上運(yùn)動時,點(diǎn)D與點(diǎn)A′之間的距離也隨之變化,請直接寫出點(diǎn)D與點(diǎn)A′之間距離的變化范圍.
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