【題目】如圖,已知RtABC中,ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線,過點(diǎn)A作AECD,AE分別與CD、CB相交于點(diǎn)H、E,AH=2CH.

(1)求sinB的值;

(2)如果CD=,求BE的值.

【答案】12)3

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線,可得出CD=BD,則B=BCD,再由AECD,可證明B=CAH,由AH=2CH,可得出CH:AC=1:,即可得出sinB的值;

(2)根據(jù)sinB的值,可得出AC:AB=1:,再由AB=2,得AC=2,則CE=1,從而得出BE.

解:(1)∵∠ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線,

CD=BD,

∴∠B=BCD,

AECD,

∴∠CAH+ACH=90°,

ACB=90°

∴∠BCD+ACH=90°

∴∠B=BCD=CAH,即B=CAH,

AH=2CH,

由勾股定理得AC=CH,

CH:AC=1:,

sinB=;

(2)sinB=

AC:AB=1:,

AC=2

∵∠CAH=B

sinCAH=sinB==,

設(shè)CE=x(x>0),則AE=x,則x2+22=(x)2,

CE=x=1,AC=2,

在RtABC中,AC2+BC2=AB2,

AB=2CD=2,

BC=4

BE=BC﹣CE=3.

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(1)如圖(1),求證:FE=FB;

(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上移動時,點(diǎn)A′的位置也隨之變化,

①當(dāng)點(diǎn)A′恰好落在線段BD上時,如圖(2),求AE的長;

②在運(yùn)動變化過程中,設(shè)AE=x,CF=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,試判斷EF能否平分矩形ABCD的面積?若能,求出x的值;若不能,則說明理由;

(3)當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上運(yùn)動時,點(diǎn)D與點(diǎn)A′之間的距離也隨之變化,請直接寫出點(diǎn)D與點(diǎn)A′之間距離的變化范圍.

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