Question

在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，設(shè)銳角∠AOB＝α，將△DOC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△D′OC′（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜90°）連接AC′、BD′，AC′與BD′相交于點(diǎn)M．

（1）當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，如圖1．求證：△AOC′≌△BOD′．

（2）當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，設(shè)AC＝kBD，如圖2．

①猜想此時(shí)△AOC′與△BOD′有何關(guān)系，證明你的猜想；

②探究AC′與BD′的數(shù)量關(guān)系以及∠AMB與α的大小關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

（1）證明：在矩形ABCD中，

∵AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

∵△D′OC′由△DOC旋轉(zhuǎn)得到，

∴OD＝OD′，OC＝OC′，∠D′OD＝∠C′OC，

∴OB＝OD′＝OA＝OC′，…………1分

∴180°－∠D′OD＝180°－∠C′OC，

即∠BOD′＝∠AOC′，…………2分

∴△BOD′≌△AOC′…………3分

（2）①猜想：△BOD′∽△AOC′．

證明：在平行四邊形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，

∵△D′OC′由△DOC旋轉(zhuǎn)得到，

∴OD＝OD′，OC＝OC′，∠D′OD＝∠C′OC，

∴OB：OA＝OD′：OC′，…………4分

180°－∠D′OD＝180°－∠C′OC，

∴∠BOD′＝∠AOC′，…………5分

∴△BOD′∽△AOC′…………6分

②結(jié)論：AC′＝kBD′，∠AMB＝α

證明：∵△BOD′∽△AOC′，

∴，即AC′＝kBD′          …………7分

設(shè)BD′與AC相交于點(diǎn)N，∵△BOD′∽△AOC′，∴∠OBM＝∠OAM，

在△ANM與△BNO中，又∵∠ANM＝∠BNO，

∴180°－∠OAC′－∠ANM＝180°－∠OBD′－∠BNO，

即∠AMB＝∠AOB＝α．………………9分