Question

【題目】（本題滿分10分）已知：如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，圓O過D、B、C三點(diǎn)，∠DOC=2∠ACD=90°．

（1）求證：直線AC是圓O的切線；

（2）如果∠ACB=75°，圓O的半徑為2，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】（1）證明：

∵2∠ACD=90°，

∴∠ACD=45°

∵∠DOC=90°，且DO=CO，

∴△OCD為等腰直角三角形，∠OCD=45°

∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°

∴直線AC是⊙O的切線．

（2）解：連接BO，

∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，

∴∠DCB=30°，∴∠DOB=60°，

∵DO=BO，

∴△BDO為等邊三角形，

∴BD=OB=4．

（1）利用切線的判定定理求出∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°，即可得出答案；

（2）利用圓周角定理得出△BDO為等邊三角形，即可得出答案．