(2003•安徽)附加題:
要將29個數(shù)學(xué)競賽的名額分配給10所學(xué)校,每所學(xué)校至少要分到一個名額.
(1)試提出一種分配方案,使得分到相同名額的學(xué)校少于4所;
(2)證明:不管怎樣分配,至少有3所學(xué)校得到的名額相同;
(3)證明:如果分到相同名額的學(xué)校少于4所,則29名選手至少有5名來自同一學(xué)校.
【答案】分析:(1)答案不唯一,只要保證分到相同名額的學(xué)校少于4所,10所學(xué)校的名額和等于29即可;
(2)假設(shè)沒有3所學(xué)校得到相同的名額,可以用反證法進(jìn)行分析證明;
(3)假設(shè)每所學(xué)校分得的名額都不超過4,可以運用反證法進(jìn)行證明.
解答:解:(1)滿足要求的分配方案有很多,如:學(xué)校對應(yīng)的名額可以分別是:1,1,1,2,2,2,3,3,7,7;

(2)假設(shè)沒有3所學(xué)校得到相同的名額,而每校至少要有1名,則人數(shù)最少的分配方案是:每兩所學(xué)校一組依次各得1,2,3,4,5個名額,總?cè)藬?shù)為2(1+2+3+4+5)=30,但現(xiàn)在只有29個名額,故不管如何分配,都至少有3所學(xué)校分得的名額相同;

(3)假設(shè)每所學(xué)校分得的名額都不超過4,并且每校的名額不少于1,則在分到相同名額的學(xué)校少于4所的條件下,10所學(xué)校派出的選手?jǐn)?shù)最多不會超過3×4+3×3+3×2+1×1=28,這與選手總數(shù)是29矛盾,從而至少有一所學(xué)校派出的選手?jǐn)?shù)不小于5.
點評:解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意,能夠運用反證法進(jìn)行分析說明.
練習(xí)冊系列答案
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(2)證明:不管怎樣分配,至少有3所學(xué)校得到的名額相同;
(3)證明:如果分到相同名額的學(xué)校少于4所,則29名選手至少有5名來自同一學(xué)校.

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