Question

【題目】如圖（1），矩形OABC的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為(5，4)，點(diǎn)P是射線BA上的一動(dòng)點(diǎn)，把矩形OABC沿著CP折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處．

（1）當(dāng)點(diǎn)C、D、A共線時(shí)，AD=　　　　；

（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CD與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC，交BC于點(diǎn)F，請判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由；

（3）若點(diǎn)D正好落在x軸上，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)：　　　　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）四邊形CEAF是菱形，見解析；（3）（5，）或（5，-6）

【解析】

（1）由翻折可以得到CD=CB=5，根據(jù)勾股定理可以求出AC=，點(diǎn)C、D、A共線時(shí)，可知AD=AC-CD=-5；

（2）根據(jù)對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，可得結(jié)論；
（3）分兩種情況：
①如圖3，點(diǎn)D在x軸正半軸上時(shí)，易得△PAD∽△DOC，列比例式可得結(jié)論；
②如圖4，當(dāng)D在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，易得△COD∽△DAP，同理可得結(jié)論．

解：（1）如圖1，∵矩形OABC，點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，4），

∴BC=5，AB=4，
由勾股定理得：AC=，
由折疊得：CD=BC=5，
當(dāng)點(diǎn)C、D、A共線時(shí)，AD=AC-CD=，
故答案為：；

（2）如圖2，四邊形CEAF是菱形，

理由是：由折疊得：∠FCA=∠ECA，
∵AC⊥EF，
∴EG=FG，
∵CF∥AE，
∴∠FCA=∠EAC，
∵∠CGF=∠AGE，
∴△CGF≌△AGE，
∴AG=CG，
∴四邊形CEAF是菱形；

（3）分兩種情況：
①如圖3，點(diǎn)D在x軸正半軸上時(shí)，

在Rt△COD中，OC=4，CD=5，
∴OD=3，
∴AD=5-3=2，
∵∠PDC=90°，
易得△PAD∽△DOC，

②如圖4，當(dāng)D在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，

由勾股定理得：OD=3，
∵∠CDP=90°，
∴∠CDO+∠ODP=∠ODP+∠DPA=90°，
∴∠CDO=∠DPA，
∵∠DOC=∠DAP，
∴△COD∽△DAP，

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，）或（5，-6）．