Question

探索下列∠A與∠P之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（1）如圖①，BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB；
（2）如圖②，BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB的補(bǔ)角：
（3）如圖③，BP平分∠ABC的補(bǔ)角、CP平分∠ACB的補(bǔ)角．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，得到∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCB=

1

2

∠ACB，求出∠PBC+∠PCB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠P即可；
（2）根據(jù)∠ACE=∠A+∠ABC，和CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，得到∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCA=

1

2

∠ACE=

1

2

∠A+

1

2

∠ABC，根據(jù)∠P=180°-（∠PBC+∠PCA+∠ACB），得到

1

2

∠A即可；
（3）根據(jù)∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，求出∠DBC+∠ECB，根據(jù)BP、CP分別平分∠DBC和∠ECD，得到∠PBC=

1

2

∠DBC，∠PCB=

1

2

∠ECB，求出∠PBC+∠PCB，即可求出答案．

解答：解：（1）∵BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCB=

1

2

∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×（180°-∠A），
∴∠P=180°-（∠PCB+∠PBC）=90°+

1

2

∠A．

（2）∠ACE=∠A+∠ABC，
∵CP平分∠ACE，BP平分∠ABC，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCA=

1

2

∠ACE=

1

2

∠A+

1

2

∠ABC，
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCA+∠ACB）=

1

2

∠A；

（3）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∵BP、CP分別平分∠DBC和∠ECD，
∴∠PBC=

1

2

∠DBC，∠PCB=

1

2

∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠DBC+∠ECB），
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-

1

2

（∠DBC+∠ECB）=90°-

1

2

∠A．
故答案為：（1）∠P=90°+

1

2

∠A；（2）∠P=∠A；（3）∠P=90°-

1

2

∠A，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角，角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．