Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A﹣B﹣C﹣A運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．

（1）若點P在BC上，且滿足PA=PB，求此時t的值；

（2）若點P恰好在∠ABC的角平分線上，求此時t的值；

（3）在運動過程中，當(dāng)t為何值時，△ACP為等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）或.

【解析】試題分析：

(1)用含t的式子表示出AP，CP的長，用勾股定理列方程求解；

(2)利用角平分線的性質(zhì)定理，用含t的式子表示出AP，PD的長，用勾股定理列方程求解；

(3)AC不動，點P是動點，所以需要分類討論，分別以A，C，P為等腰三角形的頂點構(gòu)成的等腰三角形，然后用勾股定理列方程求解.

試題解析：

Rt△ABC中，由勾股定理得AC=3.

(1)根據(jù)題意得AB+BP=2t，所以BP=2t-AB=2t-5，

則AP=2t-5，PC=BC-PB=4-(2t-5)=9-2t.

Rt△APC中，由勾股定理得：AC2+PC2=AP2,即32+(9-2t)2=(2t-5)2,解得t=.

(2)過點P作PD⊥AB于點D.

因為BP平分∠ABC，∠C=90°，所以PD=PC，BD=BC.

根據(jù)題意得，AB+BC+CP=2t，所以CP=2t-9，

則DP=2t-9，AP=3-(2t-9)=12-2t.

Rt△APD中，AD=AB-BD=5-4=1，由勾股定理得：

PD2+AD2=AP2，即12+(2t-9)2=(12-2t)2，解得t=.

(3) 如圖1，當(dāng)AP=AC時，AP=3，2t=3，t=.

如圖2，當(dāng)CA=CP，點P在AB上時，過點C作CD⊥AB于點D，則AD=PD.

因為CD×AB=AC×BC，所以5CD=3×4，CD=.

Rt△ACD中，由勾股定理得AD=.

因為AP=2AD，所以t=2AD÷2=AD=.

如圖3，當(dāng)CA=CP，點P在BC上時，CP=CA=3.

則BP=BC-BP=4-3=1，AB+BP=5+1=6.

所以t=6÷2=3.

如圖4，當(dāng)PA=PC時，過點P作PD∥BC交AC于點D，則PD垂直平分AC，所以AP=BP=，t=÷2=.

綜上所述，當(dāng)t=， ，3， 時，△ACP為等腰三角形．