Question

如圖，⊙O的直徑AB=8，C為圓周上一點，AC=4，過點C作⊙O的切線l，過點B作l的垂線BD，垂足為D，BD與⊙O交于點E． 
（1）求∠AEC的度數(shù)；
（2）求證：四邊形OBEC是菱形．

Answer 1

分析：（1）易得△AOC是等邊三角形，則∠AOC=60°，根據(jù)圓周角定理得到∠AEC=30°；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥l，則有OC∥BD，再根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠AEB=90°，則∠EAB=30°，可證得AB∥CE，得到四邊形OBEC為平行四邊形，再由OB=OC，即可判斷四邊形OBEC是菱形．

解答：（1）解：在△AOC中，AC=4，
∵AO=OC=4，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠AEC=30°；

（2）證明：∵OC⊥l，BD⊥l．
∴OC∥BD． 
∴∠ABD=∠AOC=60°．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴△AEB為直角三角形，∠EAB=30°．  
∴∠EAB=∠AEC．
∴CE∥OB，又∵CO∥EB
∴四邊形OBEC 為平行四邊形．  
又∵OB=OC=4．
∴四邊形OBEC是菱形．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理及其推論以及菱形的判定方法．