Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）在x軸上方作x軸的平行線，交二次函數(shù)圖象于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)C．當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，求m的值；

（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB以每秒1個(gè)單位長度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AD勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D時(shí)立即原速返回，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q返回到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）．過點(diǎn)P向x軸作垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，問：以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能否是平行四邊形．若能，請求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，m的值為4；（3）以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能為平行四邊形，t的值為4或6.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，再利用正方形的性質(zhì)可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論；

（3）由（2）可得出點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)E，F的坐標(biāo)，由且以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形可得出，分，，三種情況找出AQ，EF的長，由可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其合適的值即可得出結(jié)論．

（1）將，代入，得：，

解得，

∴該二次函數(shù)的解析式為．

（2）當(dāng) 時(shí)，，

解得：，，

∴點(diǎn)a的坐標(biāo)為（，m），點(diǎn)b的坐標(biāo)為（，m），

∴點(diǎn)d的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)c的坐標(biāo)為（，0）．

∵矩形abcd為正方形，

∴，

解得：，（舍去），．

∴當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，m的值為4．

（3）以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能為平行四邊形．

由（2）可知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．

設(shè)直線AC的解析式為，

將，代入，

得，

解得，

∴直線ac的解析式為．

當(dāng)時(shí)， ，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，-t+4）．

∵以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，且 ，

∴，分三種情況考慮：

①當(dāng)時(shí)，如圖1所示，，EF=，

∴，解得：（舍去），；

②當(dāng)時(shí)，如圖2所示，，EF=，

∴，

解得：（舍去），；

,, EF=，

，

解得（舍去），（舍去）

綜上所述，當(dāng)以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形時(shí)，t的值為4或6