如圖1,以點O為圓心,半徑為4的圓交x軸于A,B兩點,交y軸于C,D兩點,點P為弧AC上的一動點,延長CP交x軸于點E;連接PB,交OC于點F.
(1)若點F為OC的中點,求PB的長;
精英家教網(wǎng)
(2)求CP•CE的值;
(3)如圖2,過點OH∥AP交PD于點H,當點P在弧AC上運動時,試問
APDH
的值是否保持不變;若不變,試證明,求出它的值;若發(fā)生變化,請說明理由.
分析:(1)求PB的長,連接AP,可以通過證明△ABP∽△BOF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出;
(2)求CP•CE的值,連接BC,CA,易證明AC=BC,得出∠CPB=∠EBC,再證明△BCP∽△ECB,得出比例的乘積形式即可;(3)
AP
DH
的值可以通過比例的形式,證明△CAP∽△ODH得出.
解答:(本題滿分8分)
解:(1)連接AP,精英家教網(wǎng)
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠APB=∠FOB=90°.
∵∠ABP=∠FBO,
∴△ABP∽△BOF.
BP
OB
=
AB
BF
.(1分)
BF=
OF2+OB2
=2
5
,
BP
4
=
8
2
5

BP=
16
5
5
.(2分)

(2)連接BC,
∵OC⊥AB,BC=
OC2+OB2
=4
2
,精英家教網(wǎng)
AC
=
BC

∴∠CPB=∠EBC.(3分)
∵∠BCP=∠BCE,
∴△BCP∽△ECB.
BC
CP
=
CE
BC
.(4分)
∴BC2=CP•CE=32.(5分)

(3)
AP
DH
的值保持不變.(6分)精英家教網(wǎng)
連接PC,AC,
∵OH∥AP,
∴∠APD=∠OHP=
1
2
∠AOD=45°.
∴∠CPA=∠OHD=135°.
又∵∠CAP=∠ODH,
∴△CAP∽△ODH.(7分)
AP
DH
=
AC
OD
=
4
2
4
=
2

當點P在弧AC上運動時,
AP
DH
的值保持不變,
AP
DH
的值為
2
.(8分)
點評:本題考查了相似三角形的性質(zhì),同時考查了平行線的性質(zhì),圓周角的性質(zhì),綜合性較強.
練習(xí)冊系列答案
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23、如圖,在以點O為圓心的兩個同心圓中,小圓直徑AE的延長線與大圓交于點B,點D在大圓上,BD與小圓相切于點F,AF的延長線與大圓相交于點C,且CE⊥BD.找出圖中相等的線段并證明.

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(1)證明直線BC是小圓的切線;
(2)試證明:AC+AD=BC;
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求證:(1)BD是小圓的切線;
(2)CE:AE=OC:OD.

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