Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點A在DE上，以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸x=1交x軸于點B．連接EC，AC．點P，Q為動點，設(shè)運動時間為t秒．

（1）求點A坐標及拋物線的解析式．

（2）在圖①中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動，同時，點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動．當t為何值時，△PCQ為直角三角形？

（3）在圖②中，若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動，過點P做PF⊥AB，交AC于點F，過點F作FG⊥AD于點G，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ．當t為何值時，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3 （2）當t=或t=時，△PCQ為直角三角形 （3）t=2

【解析】（1）由拋物線的對稱軸為x=1，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點A在DE上，可求得點A的坐標，然后設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+4，將點C代入即可求得答案；

（2）分別從∠QPC=90°與∠PQC=90°，利用cos∠QPC求解即可求得答案；

（3）首先設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式，然后求得點Q的坐標，繼而求得S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ=FQAG+FQDG=FQ（AG+DG）=（t﹣2）2+1，則可求得答案．

解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點A在DE上，

∴點A坐標為（1，4），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+4，

把C（3，0）代入拋物線的解析式，可得a（3﹣1）2+4=0，

解得a=﹣1．

∴拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；

（2）依題意有：OC=3，OE=4，

∴CE==5，

當∠QPC=90°時，

∵cos∠QPC=，

∴，

解得t=；

當∠PQC=90°時，

∵cos∠QCP=，

∴，

解得t=．

∴當t=或t=時，△PCQ為直角三角形；

（3）∵A（1，4），C（3，0），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則，解得： ．

故直線AC的解析式為y=﹣2x+6．

∵P（1，4﹣t），將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+，

∴Q點的橫坐標為1+，

將x=1+代入y=﹣（x﹣1）2+4中，得y=4﹣．

∴Q點的縱坐標為4﹣，

∴QF=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣，

∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ=FQAG+FQDG=FQ（AG+DG）=FQAD=×2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1，

∴當t=2時，△ACQ的面積最大，最大值是1．

“點睛”考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：拋物線的對稱軸，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，勾股定理，三角形面積，二次函數(shù)的最值，以及分類思想的運用．