Question

13．現(xiàn)用棱長為1cm的若干小立方體，按如圖所示的規(guī)律在地上搭建若個(gè)幾何體．圖中每個(gè)幾何體自上而下分別叫第一層，第二層…第n層（n為正整數(shù)），其中第一層擺放一個(gè)小立方體，第二層擺放4個(gè)小立方體，第三層擺放9個(gè)小立方體…，依次按此規(guī)律繼續(xù)擺放．
（1）求搭建第4個(gè)幾何體需要的小立方體個(gè)數(shù)；
（2）為了美觀，若將每個(gè)幾何體的所有露出部分（不包含底面）都噴涂油漆，已知噴涂1cm²需要油漆0.2g．
①求噴涂第4個(gè)幾何體需要油漆多少g？
②求噴涂第n個(gè)幾何體需要油漆多少g？（用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）觀察得到每層向上的面都為正方形，即每層的個(gè)數(shù)都為平方數(shù)，則搭建第4個(gè)幾何體的小立方體的個(gè)數(shù)=1+4+9+16；第n個(gè)幾何體第n層的個(gè)數(shù)為n²，所以總數(shù)為1+2²+3²+4²+…+n²；
（2）①噴漆第四個(gè)幾何露在外面的表面積為：4×（1+2+3+4）+4²=56（cm²），再用表面積×0.2，即可解答．
②第n個(gè)幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積=4×（1+2+3+…+n）+n²，化簡后乘以0.2即可．

解答 解：（1）搭建第4個(gè)幾何體的小立方體的個(gè)數(shù)=1+4+9+16=30；
（2）①噴漆第四個(gè)幾何露在外面的表面積為：4×（1+2+3+4）+4²=56（cm²），
56×0.2=11.2（g）．
②第n個(gè)幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積=4×（1+2+3+…+n）+n²=4×$\frac{n（n+1）}{2}$+n²=3n²+2n，
所以所需要的油漆量=（3n²+2n）×0.2=（0.6n²+0.4n）g．

點(diǎn)評 此題主要考查了圖形的變化類：通過特殊圖象找到圖象變化，歸納總結(jié)出規(guī)律，再利用規(guī)律解決問題．也考查了三視圖．