(2013•房山區(qū)二模)已知拋物線y=(3-m)x2+2(m-3)x+4m-m2的最低點A的縱坐標(biāo)是3,直線y=mx+b經(jīng)過點A,與y軸交于點B,與x軸交于點C.
(1)求拋物線與直線AB的解析式.
(2)將直線AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,與x軸交于點D,與y軸交于點E,求sin∠BDE的值.
(3)過B點作x軸的平行線BG,點M在直線BG上,且到拋物線的對稱軸的距離為6,設(shè)點N在直線BG上,請你直接寫出使得∠AMB+∠ANB=45°的點N的坐標(biāo).
分析:(1)先由y=(3-m)x2+2(m-3)x+4m-m2可以求出拋物線的對稱軸,就可以求出頂點坐標(biāo),代入解析式就可以求出m的值,將A的坐標(biāo)及m的值代入一次函數(shù)的解析式就可以求出結(jié)論;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以求出D、E的坐標(biāo),由勾股定理就可以求出BD,DE、DF的值根據(jù)求銳角三角函數(shù)的方法就可以求出結(jié)論;
(3)根據(jù)題意畫出圖形,分情況討論運用相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論.
解答:解:(1)∵y=(3-m)x2+2(m-3)x+4m-m2的,
∴拋物線的對稱軸x=-
b
2a
=-
2(m-3)
2(3-m)
=1.
∵拋物線y=(3-m)x2+2(m-3)x+4m-m2的最低點A的縱坐標(biāo)是3
∴拋物線的頂點為A(1,3)
∴m2-5m+6=0,
∴m=3或m=2,
∵3-m>0,
∴m<3
∴m=2,
∴拋物線的解析式為:y=x2-2x+4,
直線為y=2x+b.
∵直線y=mx+b經(jīng)過點A(1,3)
∴3=2+b,
∴b=1.
∴直線AB為:y=2x+1;

(2)令x=0,則y=1,)令y=0,則x=-
1
2
,
∴B(0,1),C(-
1
2
,0)
將直線AB繞O點順時針旋轉(zhuǎn)900,設(shè)DE與BC交于點F
∴D(1,0),E(0,
1
2
),∠CFD=90°,
∴OB=OD=1  OC=
1
2
,∴CD=
3
2

在Rt△BOC中,由勾股定理,得
CB=
5
2
,BD=
2

∵CD•OB=CB•DF,
∴DF=
3
5
5
,
∴由勾股定理,得
BF=
5
5
,
∴Sin∠BDE=
BF
BD
=
5
5
2
=
10
10


(3)如圖2,在BG上取一點Q,使AP=QP,
∴∠AQP=45°.
∴∠ANB+∠QAN=∠QAM+∠AMB=45°.
∵∠AMB+∠ANB=45°,
∴∠ANB=∠QAM,
∴△AQN∽△MQA,
AQ
MQ
=
QN
QA

∵AD=3,OD=1,
∴AP=QP=2,
∴QM=4,AQ=2
2
,
∵M(jìn)P=6,
∴MQ=4.
2
2
4
=
QN
2
2
,
∴QN=2,
∴BN=5.
∴N(5,1);
如圖3,在BG上取一點Q,使AP=QP,
∴∠AQP=45°.
∴∠ANB+∠AMB=∠QAM+∠AMB=45°.
∴∠ANB=∠QAM,
∴△AQM∽△NAM,
AM
MN
=
QM
AM

∵AD=3,OD=1,
∴AP=QP=2,
∴QM=4,BM=7,AQ=2
2
,
∵M(jìn)P=6,
∴MQ=4.AM=2
10

2
10
MN
=
4
2
10
,
∴MN=10,
∴BN=3.
∴N(-3,1);
∴N(-3,1)或(5,1).
點評:本題考查了運用拋物線的頂點式求頂點坐標(biāo)的運,運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式的運用,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用,相似三角形的判定及性質(zhì)的運用,解答時尋找解答本題的突破口從拋物線的頂點入手,求N的坐標(biāo)運用相似三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵.
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