【題目】已知,如圖四邊形AOBC為正方形,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4 ,0),動(dòng)點(diǎn)P沿著折線OACB的方向以1個(gè)單位每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q沿著折線OBCA的方向勻速運(yùn)動(dòng),速度是2個(gè)單位長(zhǎng)度每秒,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)他們相遇時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)是正方形AOBC的面積是 .
(2)將正方形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,求旋轉(zhuǎn)后的正方形與原正方形的重疊部分的面積.
(3)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí),以A、P、B、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?
(4)是否存在這樣的t值,使△OPQ成為等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)(2,2);16
(2)
由OC=4得,OA=OB=OC=AC=4,
旋轉(zhuǎn)后可得OA′=OA=4,
∴A′C=4-4,而可知∠CA′E=90°,∠OCB=45°,
∴△A′EC是等腰直角三角形,
∴A′E=A′C=4-4,
∴S四邊形OA’EB=S△OBC-S△A’EC=16-16.
(3)
解:當(dāng)P在OA,Q在OB時(shí),不存在;
當(dāng)P在OA,Q在BC時(shí),當(dāng)AP=BQ時(shí),又因?yàn)锳O//BC,則四邊形APBQ為平行四邊形,如圖,
AP=4-t,BQ =2t-4,
則4-t=2t-4,
解得t=.
即當(dāng)t=時(shí),四邊形APBQ是平行四邊形.
(4)
存在,當(dāng)Q點(diǎn)在BC上時(shí),使OQ=QP,QM為OP的垂直平分線,
則有OP=2OM=2BQ,而OP=t,BQ=4-2t,
∴t=2(4-2t),
∴t=.
【解析】(1)在正方形OACB中,連接AB,交OC于D點(diǎn),則OD=AD=OC=2,即A(2,2).
正方形的面積為:=16.
所以答案是:(2,2);16.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等腰三角形的判定和平行四邊形的判定,掌握如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)稱:等角對(duì)等邊).這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等;兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)原點(diǎn)O是正方形OABC的一個(gè)頂點(diǎn),已知點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,7),過(guò)點(diǎn)P(a,0)(a>0)作PE⊥x軸,與邊OA交于點(diǎn)E(異于點(diǎn)O、A),將四邊形ABCE沿CE翻折,點(diǎn)A′、B′分別是點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn),若點(diǎn)A′恰好落在直線PE上,則a的值等于( )
A. B. C.2 D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù) 的圖象與反比例函數(shù) 的圖象交于點(diǎn)A﹙2,5﹚、
C﹙5,n﹚,交y軸于點(diǎn)B,交x軸于點(diǎn)D.
(1)求反比例函數(shù) 和一次函數(shù) 的表達(dá)式;
(2)連接OA、OC.求△AOC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D是BC邊的中點(diǎn),E、F分別在AD及其延長(zhǎng)線上,CE∥BF,連結(jié)BE、CF.
(1)圖中的四邊形BFCE是平行四邊形嗎?為什么?
(2)若AB=AC,其它條件不變,那么四邊形BFCE是菱形嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形ABCD中,P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn),點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)PC=PE;
(2)求∠CPE的度數(shù);
(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)∠ABC=120°時(shí),連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算:
(1)已知a+b=-3,ab=5,求多項(xiàng)式4a2b+4ab2-4a-4b的值;
(2)已知x2-3x-1=0,求代數(shù)式3-3 x2+9x的值?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是一個(gè)被抹去x軸、y軸及原點(diǎn)O的網(wǎng)格圖,網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度,三角形ABC的各頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上,若記點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,3),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,﹣1).
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中找出x軸、y軸及原點(diǎn)O的位置;
(2)把△ABC向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,請(qǐng)你畫(huà)出平移后的△A1B1C1 , 若△ABC內(nèi)部一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),則點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)是;
(3)試求出△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將拋物線y=﹣(x﹣3)2+5向下平移6個(gè)單位,所得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無(wú)法判定△ADF≌△CBE的是( )
A.∠A=∠C
B.AD=CB
C.BE=DF
D.AD∥BC
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