【題目】如圖,一次函數(shù)y=k1x﹣1的圖象經過A(0,﹣1)、B(1,0)兩點,與反比例函數(shù)y= 的圖象在第一象限內的交點為M,若△OBM的面積為1.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式;
(2)在x軸上是否存在點P,使AM⊥PM?若存在,求出點P的坐標;若不存在,說明理由;
(3)x軸上是否存在點Q,使△QBM∽△OAM?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)
解:如圖1,過點M作MN⊥x軸于點N,
∵一次函數(shù)y=k1x﹣1的圖象經過A(0,﹣1)、B(1,0)兩點,
∴0=k1﹣1,AO=BO=1,
解得:k1=1,
故一次函數(shù)解析式為:y=x﹣1,
∵△OBM的面積為1,BO=1,
∴M點縱坐標為:2,
∵∠OAB=∠MNB,∠OBA=∠NBM,
∴△AOB∽△MNB,
∴ = = ,
則BN=2,
故M(3,2),
則xy=k2=6,
故反比例函數(shù)解析式為:y=
(2)
解:如圖2,過點M作PM⊥AM,垂足為M,
∵∠AOB=∠PMB,∠OBA=∠MBP,
∴△AOB∽△PMB,
∴ = ,
由(1)得:AB= = ,BM= =2 ,
故 = ,
解得:BP=4,
故P(5,0)
(3)
解:如圖3,∵△QBM∽△OAM,
∴ = ,
由(2)可得AM=3 ,
故 = ,
解得:QB= ,
則OQ= ,
故Q點坐標為:( ,0).
【解析】(1)利用已知點B坐標代入一次函數(shù)解析式得出答案,再利用△OBM的面積得出M點縱坐標,再利用相似三角形的判定與性質得出M點坐標即可得出反比例函數(shù)解析式;(2)過點M作PM⊥AM,垂足為M,得出△AOB∽△PMB,進而得出BP的長即可得出答案;(3)利用△QBM∽△OAM,得出 = ,進而得出OQ的長,即可得出答案.
【考點精析】通過靈活運用反比例函數(shù)的性質和相似三角形的性質,掌握性質:當k>0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每個象限內y值隨x值的增大而減小; 當k<0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個象限內y值隨x值的增大而增大;對應角相等,對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形即可以解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點G,D,C在直線a上,點E,F,A,B在直線b上,若a∥b,Rt△GEF從如圖所示的位置出發(fā),沿直線b向右勻速運動,直到EG與BC重合.運動過程中△GEF與矩形ABCD重合部分的面積(S)隨時間(t)變化的圖象大致是( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD、BE、CF分別是三邊上的中線.
(1)若AC=1,BC=.求證:AD2+CF2=BE2;
(2)是否存在這樣的Rt△ABC,使得它三邊上的中線AD、BE、CF的長恰好是一組勾股數(shù)?請說明理由.(提示:滿足關系a2+b2=c2的3個正整數(shù)a、b、c稱為勾股數(shù).)
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【題目】若一個整數(shù)能表示成a2+b2(a、b是正整數(shù))的形式,則稱這個數(shù)為“豐利數(shù)”.例如,2是“豐利數(shù)”,因為2=12+12,再如,M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x+y,y是正整數(shù)),所以M也是“豐利數(shù)”.
(1)請你寫一個最小的三位“豐利數(shù)”是 ,并判斷20 “豐利數(shù)”.(填是或不是);
(2)已知S=x2+y2+2x﹣6y+k(x、y是整數(shù),k是常數(shù)),要使S為“豐利數(shù)”,試求出符合條件的一個k值(10≤k<200),并說明理由.
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【題目】如圖,AD∥BC,AF平分∠BAD交BC于點F,BE平分∠ABC交AD于點E.求證:
(1)△ABF是等腰三角形;
(2)四邊形ABFE是菱形.
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【題目】如圖,已知在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D在邊BC上,以AD為邊作正方形ADEF,連結CF,CE.
(1)求證:△ABD≌△ACF;
(2)如果BD=AC,求證:CD=CE.
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【題目】閱讀下面材料:
學習了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,小聰繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究
小聰將命題用符號語言表示為:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E.
小聰?shù)奶骄糠椒ㄊ菍Α?/span>B分為“直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究.
第一種情況:當∠B 是直角時,如圖1,△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根據“HL”定理,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二種情況:當∠B 是銳角時,如圖2,BC=EF,∠B=∠E<90°,在射線EM上有點D,使DF=AC,畫出符合條件的點D,則△ABC和△DEF的關系是 ;
A.全等 B.不全等 C.不一定全等
第三種情況:當∠B是鈍角時,如圖3,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E>90°.過點C作AB邊的垂線交AB延長線于點M;同理過點F作DE邊的垂線交DE延長線于N,根據“ASA”,可以知道△CBM≌△FEN,請補全圖形,進而證出△ABC≌△DEF.
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