如圖,在Rt△ABC,∠ABC=90°,CO平分∠ACB交于AB于O,D為AC上一點(diǎn),且CD=CB,E為AO上一點(diǎn),OE=OB,連接DE
①試判斷直線DE與OC的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論
②若AD=4,CD=6,求AE的長.
分析:(1)DE∥OC.通過△CDO≌△CBO推知OD=OB,∠DOC=∠BCO;然后利用角平分線的性質(zhì)以及等量代換證得內(nèi)錯角∠EDO=∠DOC;
(2)在直角△ABC中根據(jù)勾股定理求得AB=8;然后在直角△ADO中利用勾股定理來求AO的長度.
解答:解:(1)直線DE與OC相互平行.理由如下:
如圖連接OD.
∵CO平分∠ACB,
∴∠1=∠2.
∵在△CDO與△CBO中,
CD=CB
∠1=∠2
CO=CO

∴△CDO≌△CBO(SAS),
∴OD=OB,∠4=∠6.
又∵OE=OB,
∴∠3=∠5.
∵∠4+∠6=180°-∠DOE=∠3+∠5,
∴2∠4=2∠3,即∠4=∠3,
∴DE∥OC,即直線DE與OC相互平行;

(2)∵AD=4,CD=6,
∴AC=10.
∵在Rt△ABC,∠ABC=90°,
∴根據(jù)勾股定理求得AB=
AC2-BC2
=8.
設(shè)AE=x.則OD=OE=
1
2
(AB-AE)=
8-x
2

在直角△ADO中,AD2+OD2=OA2,即42+(
8-x
2
2=(x+
8-x
2
2,
解得x=2,即AE=2.
點(diǎn)評:本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理.解答(2)題時(shí),借助于方程求得線段AE的長度.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•莆田質(zhì)檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),以AE為直徑的⊙O過點(diǎn)D,且交AC于點(diǎn)F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若CD=6,AC=8,求AE.

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如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,AD和BD分別是∠BAC和∠ABC的平分線,它們相交于點(diǎn)D,求點(diǎn)D到BC的距離.

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如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,將三角板中一個30°角的頂點(diǎn)D放在AB邊上移動,使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC相交于點(diǎn)E、F,且使DE始終與AB垂直.
(1)畫出符合條件的圖形.連接EF后,寫出與△ABC一定相似的三角形;
(2)設(shè)AD=x,CF=y.求y與x之間函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
3
5
,則cos∠CBD的值是( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點(diǎn),連接DE,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AD-DE-EB運(yùn)動,到點(diǎn)B停止.點(diǎn)P在AD上以
5
cm/s的速度運(yùn)動,在折線DE-EB上以1cm/s的速度運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí),過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點(diǎn)M落在線段AC上.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t(s).
(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動時(shí),線段DP的長為
(t-2)
(t-2)
cm,(用含t的代數(shù)式表示).
(2)當(dāng)點(diǎn)N落在AB邊上時(shí),求t的值.
(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時(shí),設(shè)五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

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