【題目】1)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,B=D=90°,EF分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且EAF=BAD求證:EF=BE+FD;

2)如圖,在四邊形ABCD中,AB=ADB+D=180°,E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且EAF=BAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?

3)如圖,在四邊形ABCD中,AB=ADB+ADC=180°,E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且EAF=BAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

【答案】1)證明見解析;(2)(2)(1)中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立;(3)結(jié)論EF=BE+FD不成立,應(yīng)當(dāng)是EF=BE﹣FD,證明見解析.

【解析】試題分析:1)可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段間的轉(zhuǎn)換.延長(zhǎng)EBG,使BG=DF,連接AG.目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等將EF轉(zhuǎn)換成GE,那么這樣EF=BE+DF了,于是證明兩組三角形全等就是解題的關(guān)鍵.三角形ABEAEF中,只有一條公共邊AE,我們就要通過(guò)其他的全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn),在三角形ABGAFD中,已知了一組直角,BG=DFAB=AD,因此兩三角形全等,那么AG=AF,1=2,那么∠1+3=2+3=EAF=BAD.由此就構(gòu)成了三角形ABEAEF全等的所有條件(SAS),那么就能得出EF=GE了.

2)思路和作輔助線的方法與(1)完全一樣,只不過(guò)證明三角形ABGADF全等中,證明∠ABG=ADF時(shí),用到的等角的補(bǔ)角相等,其他的都一樣.因此與(1)的結(jié)果完全一樣.

3)按照(1)的思路,我們應(yīng)該通過(guò)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換.就應(yīng)該在BE上截取BG,使BG=DF,連接AG.根據(jù)(1)的證法,我們可得出DF=BG,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.所以(1)的結(jié)論在(3)的條件下是不成立的.

1)延長(zhǎng)EBG,使BG=DF,連接AG

∵∠ABG=ABC=D=90°AB=AD,

∴△ABG≌△ADF

AG=AF,1=2

∴∠1+3=2+3=EAF=BAD

∴∠GAE=EAF

AE=AE,

∴△AEG≌△AEF

EG=EF

EG=BE+BG

EF=BE+FD

2)(1)中的結(jié)論EF=BE+FD仍然成立.

3)結(jié)論EF=BE+FD不成立,應(yīng)當(dāng)是EF=BE﹣FD

證明:在BE上截取BG,使BG=DF,連接AG

∵∠B+ADC=180°ADF+ADC=180°,

∴∠B=ADF

AB=AD,

∴△ABG≌△ADF

∴∠BAG=DAFAG=AF

∴∠BAG+EAD=DAF+EAD

=EAF=BAD

∴∠GAE=EAF

AE=AE,

∴△AEG≌△AEF

EG=EF

EG=BE﹣BG

EF=BE﹣FD

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