Question

18、如圖，△ABC中，點(diǎn)P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）求證：PE=PF；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE可能是菱形嗎？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)可證明PE=PC，PF=PC，從而得到PE=PF；
（2）假設(shè)四邊形BCFE是菱形，再證明與在同一平面內(nèi)過(guò)同一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾；

解答：解：（1）∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE=∠ECP，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠BCE=∠CEP，
∴∠ECP=∠CEP，
∴PE=PC；
同理PF=PC，
∴PE=PF；
（2）四邊形BCFE不可能是菱形，若BCFE為菱形，則BF⊥EC，
而由（1）可知FC⊥EC，在平面內(nèi)過(guò)同一點(diǎn)F不可能有兩條直線同垂直于一條直線．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定以及菱形的判定，涉及面較廣，在解答此類(lèi)題目時(shí)要注意角的運(yùn)用，一般通過(guò)角判定一些三角形，多邊形的形狀，需同學(xué)們熟練掌握．