Question

選做題：從甲、乙兩題中選做一題，如果兩題都做，只以甲題計分．
題甲：如圖1，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)在第二象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如果B為反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，在x軸上一點(diǎn)P，使PA+PB最小，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
題乙：如圖2，已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，DE=6，AC=16．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）求直徑AB的長．

Answer 1

【答案】分析：甲（1）設(shè)A（x，-x），根據(jù)△OAM的面積為1，求出x的值，進(jìn)而求出反比例函數(shù)系數(shù)k；
（2）作B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N，連結(jié)AN，交x軸于P，AN就是PA+PB的最小值，求出N點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式求出AN的長；
乙（1）連結(jié)OD，BC，證明四邊形CFDE是矩形，得到∠EDO是直角，相切證明；
（2）首先求出CB的長，然后利用勾股定理求出AB的長．
解答：題甲：解：點(diǎn)A是y=-x與y=（k≠0）的交點(diǎn)，設(shè)A（x，-x），
∵△OAM的面積為1，
∴|AM|×|OM|=x×x=1，
解得x=±2，
∵點(diǎn)A在第二象限，所以x=-2，
（-）（-2）=-，k=-2，
反比例函數(shù)的解析式為y=-；

（2）如圖，作B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N，連結(jié)AN，交x軸于P，
AN就是PA+PB的最小值，
過A作NB的垂線，交BN于G
∵B在y=-上，且橫坐標(biāo)為-1，
∴B的縱坐標(biāo)為2，
∴N（-1，-2），
AN===，
∴PA+PB的最小值為．

題乙：證明：（1）如圖連結(jié)OD，BC，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，
又∵AB是直徑，
∴AC⊥BC，
∴四邊形CFDE是矩形，
∴∠EDO是直角，所以DE與⊙O相切，

（2）∵DE=6，
∴CB=2CF=2ED=12，
又∵AC=16，
∴AB===20．
點(diǎn)評：本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題以及切線的判定的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特點(diǎn)以及切線判定定理等知識，此題難度不大，但是綜合在一起，還是有一定的難度．