(2007•金昌)在直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2),點(diǎn)C是線段OA上的一個動點(diǎn)(不運(yùn)動至O,A兩點(diǎn)),過點(diǎn)C作CD⊥x軸,垂足為D,以CD為邊作如圖所示的正方形CDEF.連接AF并延長交x軸的正半軸于點(diǎn)B,連接OF.
(1)猜想OD和DE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)設(shè)OD=t,求OB的長(用含t的代數(shù)式表示);
(3)若點(diǎn)B在E的右側(cè)時,△BFE與△OFE能否相似?若能,請你求出此時經(jīng)過O,A,B三點(diǎn)的拋物線解析式;若不能,請說明理由.

【答案】分析:(1)OD=DE,根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出直線OA在第一象限的角平分線上,因此△OCD是等腰直角三角形,OD=CD,根據(jù)四邊形CDEF是正方形,因此CD=DE,即OD=DE.
(2)可根據(jù)相似三角形ACF和AOB來求解.根據(jù)兩三角形相似可得出關(guān)于CF,OB,AC,AO的比例關(guān)系式,可用t表示出CF,CD即可得出OB的長.
(3)要分兩種情況進(jìn)行討論:
①∠FOE=∠FBE,此時△BFE≌△OFE,可得出OE=BE,那么OB=2OE=4OD,再根據(jù)(2)的結(jié)果即可得出t的值,進(jìn)而可求出B點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)O,A,B三點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線的解析式.
②∠OFE=∠FBE,此時EF2=OE•BE,據(jù)此可表示出BE的長,而后仿照①的解法求出t的值,進(jìn)而根據(jù)O,A,B三點(diǎn)坐標(biāo)來求拋物線的解析式.
解答:解:(1)OD=DE
理由:根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)可知:∠AOB=45°,
因此△OCD是等腰直角三角形,
∴OD=CD,
∵四邊形CDEF是正方形,
∴CD=DE=OD

(2)在直角三角形OCD中,OD=t
因此OC=t
易知OA=2,
∴AC=2-t.
∵CF∥OB
∴△ACF∽△AOB

,OB=

(3)本題分兩種情況:
①∠FOE=∠FBE,則有△BFE≌△OFE
∴OE=BE=2t
∴OB=4t=,
解得t=
∴OB=4t=6,即B點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0)
設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x-6),由于拋物線過A點(diǎn),則有:
2=a×2×(2-6),a=-
因此拋物線的解析式為y=-x2+x.
②∠OFE=∠FBE,由于△BFE∽△OFE,可得:
EF2=OE•BE,即t2=2t•BE,
∴BE=
∴OB=OE+BE=2t+t=t.
∴OB==t,
解得t=
∴OB=3
因此B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0).
則過A,B,O三點(diǎn)的拋物線為y=-x2+3x.
因此△BFE與△OFE能相似,此時過A,O,B三點(diǎn)的拋物線為y=-x2+x或y=-x2+3x.
點(diǎn)評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn),綜合性強(qiáng),能力要求較高.考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
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