Question

 如圖，拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，且AB=4，點(diǎn)D在拋物線上，直線是一次函數(shù)的圖象，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)。

（1）求拋物線的解析式；

（2）把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，所得拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，問(wèn)在y軸負(fù)半軸上是否存在一定點(diǎn)P，使得不論k取何值，直線PM與PN總是關(guān)于y軸對(duì)稱？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）∵拋物線關(guān)于直線x=1對(duì)稱，AB=4，∴A(－1，0)，B(3，0) 。

                ∴可設(shè)拋物線的解析式為。

          ∵點(diǎn)D在拋物線上，∴，解得。

          ∴拋物線的解析式為，即。

  

（2）∵，

∴把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，所得拋物線的解析式為。

假設(shè)在y軸上存在一點(diǎn)P(0，t)，t＜0，使直線PM與PN關(guān)于y軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)M、N分別向y軸作垂線MM₁、NN_1，垂足分別為M₁、N₁，

∵∠MPO=∠NPO，∴Rt△MPM₁∽R(shí)t△NPN₁。

∴………①。

不妨設(shè)M(x_M,y_M)在點(diǎn)N(x_N,y_N)的左側(cè)，

因?yàn)镻點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，則①式變?yōu)?sub>。

又∵，

∴………②。

把代入中，整理得。

∴，代入②得，解得，符合條件。

∴在y軸負(fù)半軸上存在一點(diǎn)P（0，），使直線PM與PN總是關(guān)于y軸對(duì)稱。

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，平移和軸對(duì)稱問(wèn)題，待定系數(shù)法的應(yīng)用，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。