【題目】閱讀下列材料,解決提出的問題:

最短路徑問題:如圖(1),點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點,如何在直線l上找到一個點C,使得點C到點A,點B的距離和最短?我們只需連接AB,與直線l相交于一點,可知這個交點即為所求.

如圖(2),如果點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點,如何在l上找到一個點C,使得這個點到點A、點B的距離和最短?我們可以利用軸對稱的性質(zhì),作出點B關(guān)于的對稱點B,這時對于直線l上的任一點C,都保持CBCB,從而把問題(2)變?yōu)閱栴}(1).因此,線段AB與直線l的交點C的位置即為所求.

為了說明點C的位置即為所求,我們不妨在直線上另外任取一點C′,連接AC′,BC′,BC′.因為ABAC+CB,∴AC+CBAC'+CB,即AC+BC最。

任務:

數(shù)學思考

1)材料中劃線部分的依據(jù)是   

2)材料中解決圖(2)所示問題體現(xiàn)的數(shù)學思想是   .(填字母代號即可)

A.轉(zhuǎn)化思想

B.分類討論思想

C.整體思想

遷移應用

3)如圖,在RtABC中,∠C=90°,∠BAC=15°,點PC邊上的動點,點DAB邊上的動點,若AB8cm,則BP+DP的最小值為   cm

【答案】(1)兩點之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊;(2A;(34

【解析】

(1)依據(jù)是兩點之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊;

(2)材料中解決圖(2)所示問題體現(xiàn)的數(shù)學思想是轉(zhuǎn)化的思想;

(3)如圖(3)中,作點B關(guān)于點C的對稱點B′,連接AB′.作BHAB′于H.作點D關(guān)于AC的對稱點D′,則PD=PD′,推出PB+PD=PB+PD′,根據(jù)垂線段最短可知,當點D′與H重合,B,P,D′共線時,PB+PD的最小值=線段BH的長;

(1)材料中劃線部分的依據(jù)是兩點之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊;

故答案為:兩點之間線段最短或三角形的兩邊之和大于第三邊;

(2)材料中解決圖(2)所示問題體現(xiàn)的數(shù)學思想是轉(zhuǎn)化的思想,

故答案為A.

(3)如圖(3)中,作點B關(guān)于點C的對稱點B′,連接AB′.作BHAB′于H.

作點D關(guān)于AC的對稱點D′,則PD=PD′,

PB+PD=PB+PD′,

根據(jù)垂線段最短可知,當點D′與H重合,B,P,D′共線時,PB+PD的最小值=線段BH的長,

BC=CB′,ACBB′,

AB=AB′,

∴∠BAC=CAB′=15°,

∴∠BAH=30°,

在RtABH中,AB=8cm,BAH=30°,

BH=AB=4cm,

PB+PD的最小值為4cm.

故答案為4.

練習冊系列答案
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