Question

【題目】閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的“非常距離”，給出如下定義：

若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1﹣x2|；

若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|y1﹣y2|．

例如：點(diǎn)P1（1，1），點(diǎn)P2（2，3），因?yàn)?/span>|1﹣2|＜|1﹣3|，所以點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|1﹣3|＝2，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q的交點(diǎn)）．

（1）已知點(diǎn)A（-，0），B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

①若點(diǎn)B（0，3），則點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為______；

②若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_______；

③直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值為_______；

（2）已知點(diǎn)D（0，1），點(diǎn)C是直線y＝﹣x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖2，求點(diǎn)C與點(diǎn)D“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）①3；②（0，2）或（0，﹣2）；③；（2）（，）.

【解析】

（1）根據(jù)“非常距離”的定義分別計(jì)算|x1﹣x2|與|y1﹣y2|，即可得答案；②根據(jù)點(diǎn)B位于y軸上，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．由“非常距離”的定義求得y的值即可；③分別討論-≤y≤時(shí)和y<-或y>時(shí)A與B的“非常距離”即可得答案；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，-x0+3)．根據(jù)材料“若，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1﹣x2|”知，C、D兩點(diǎn)的“非常距離”的最小值為|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，據(jù)此可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（1）①，|0﹣3|＝3，

∵<3，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為3，

②∵B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．

∵≠2，

∴|0﹣y|＝2．

解得，y＝2或y＝﹣2；

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2）或（0，﹣2），

③設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，y），

當(dāng)-≤y≤時(shí)，|0﹣y|≤，

∴“非常距離”為，

當(dāng)y<-或y>時(shí)，|0﹣y|>

∴“非常距離”為|y|>，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值為，

故答案為：3，（0，2）或（0，﹣2），

（2）如圖2，取點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值時(shí)，

根據(jù)運(yùn)算定義“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的‘非常距離’為|x1﹣x2|”解答，

此時(shí)|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．即AC=AD，

∵C是直線y=-x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），

∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，-x0+3)，則

∴或x0＝6，

∴或|x0﹣0|＝6．

∵<6，

∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值為，

∴-×+3=，

∴C(，)，