求證:四個連續(xù)整數(shù)的乘積與1的和必是一個完全平方數(shù).

答案:
解析:

  證明:設(shè)四個連續(xù)的整數(shù)依次為m,m+1,m+2,m+3

  則m(m+1)(m+2)(m+3)+1

 。絒(m+3)][(m+1)(m+2)]+1

  =(m2+3m)[(m2+3m)+2]+1

 。(m2+3m)2+2(m2+3m)+1

 。(m2+3m+1)2

  又m是整數(shù),∴m2+3m+1是整數(shù).

  故m(m+1)(m+2)(m+3)+1=(m2+3m+1)2是一完全平方數(shù).


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

我們已經(jīng)知道了一些特殊的勾股數(shù),如三個連續(xù)整數(shù)中的勾股數(shù):3、4、5;三個連續(xù)的偶數(shù)中的勾股數(shù)6、8、10;由此發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)的正整數(shù)倍仍然是勾股數(shù).
(1)如果a、b、c是一組勾股數(shù),即滿足a2+b2=c2,求證:ka、kb、kc(k為正整數(shù))也是一組勾股數(shù).
(2)另外利用一些構(gòu)成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù),如
①公式a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m、n為整數(shù),m>n,m>1)
②世界上第一次給出的勾股數(shù)的公式,被收集在《九章算術(shù)》中a=
1
2
(m2-n2)
,b=mn,c=
1
2
(m2+n2)
(m、n為正整數(shù),m>n)
③公元前427-公元前347,由柏拉圖提出的公式a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1,且n為整數(shù))
④畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的公式a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n為正整數(shù)),請你在上述的四個公式中選擇一種加以證明,滿足公式的a、b、c是一組勾股數(shù)
(3)請根據(jù)你在(2)中所選的公式寫出一組勾股數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044

求證:四個連續(xù)自然數(shù)的積與1的和,必是某一個整數(shù)的平方

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:黃岡難點課課練  七年級數(shù)學(xué)下冊(北師大版) 題型:047

求證:四個連續(xù)整數(shù)的積加1是某個整數(shù)的平方.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

我們已經(jīng)知道了一些特殊的勾股數(shù),如三個連續(xù)整數(shù)中的勾股數(shù):3、4、5;三個連續(xù)的偶數(shù)中的勾股數(shù)6、8、10;由此發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)的正整數(shù)倍仍然是勾股數(shù).
(1)如果a、b、c是一組勾股數(shù),即滿足a2+b2=c2,求證:ka、kb、kc(k為正整數(shù))也是一組勾股數(shù).
(2)另外利用一些構(gòu)成勾股數(shù)的公式也可以寫出許多勾股數(shù),如
①公式a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m、n為整數(shù),m>n,m>1)
②世界上第一次給出的勾股數(shù)的公式,被收集在《九章算術(shù)》中數(shù)學(xué)公式,b=mn,數(shù)學(xué)公式(m、n為正整數(shù),m>n)
③公元前427-公元前347,由柏拉圖提出的公式a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1,且n為整數(shù))
④畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的公式a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n為正整數(shù)),請你在上述的四個公式中選擇一種加以證明,滿足公式的a、b、c是一組勾股數(shù)
(3)請根據(jù)你在(2)中所選的公式寫出一組勾股數(shù).

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