【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為M(﹣2,﹣4),與x軸交于A、B兩點(diǎn),且A(﹣6,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)求△ABC的面積;
(3)能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點(diǎn)P,使△APC的面積最大?若能,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=x2+x﹣3;(2)12;(3)當(dāng)x=﹣3時(shí),S△APC有最大值,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(﹣3,﹣).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得a、b、c的值,即可解題;(2)易求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo),即可求得OC的長,即可求得△ABC的面積,即可解題;(3)作PE⊥x軸于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,可將△APC的面積轉(zhuǎn)化為△AFP和△CFP的面積之和,而這兩個(gè)三角形有共同的底PF,這一個(gè)底上的高的和又恰好是A、C兩點(diǎn)間的距離,因此若設(shè)設(shè)E(x,0),則可用x來表示△APC的面積,得到關(guān)于x的一個(gè)二次函數(shù),求得該二次函數(shù)最大值,即可解題.
試題解析:(1)設(shè)此函數(shù)的解析式為y=a(x+h)2+k,
∵函數(shù)圖象頂點(diǎn)為M(﹣2,﹣4),
∴y=a(x+2)2﹣4,
又∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A(﹣6,0),
∴0=a(﹣6+2)2﹣4解得a=,
∴此函數(shù)的解析式為y=(x+2)2﹣4,
即y=x2+x﹣3;
(2)∵點(diǎn)C是函數(shù)y=x2+x﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn),
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,﹣3),
又當(dāng)y=0時(shí),有y=x2+x﹣3=0,
解得x1=﹣6,x2=2,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,0),
則S△ABC=|AB||OC|=×8×3=12;
(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.
設(shè)E(x,0),則P(x, x2+x﹣3),
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,
∵直線AC過點(diǎn)A(﹣6,0),C(0,﹣3),
∴,解得,
∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣3,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(x,﹣ x﹣3),
則|PF|=﹣x﹣3﹣(x2+x﹣3)=﹣x2﹣x,
∴S△APC=S△APF+S△CPF=|PF||AE|+|PF||OE|
=|PF||OA|=(﹣x2﹣x)×6=﹣x2﹣x=﹣(x+3)2+,
∴當(dāng)x=﹣3時(shí),S△APC有最大值,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(﹣3,﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017·河北遷安一模)如圖,在Rt△ABC中,直角邊AC=7 cm,BC=3 cm,CD為斜邊AB上的高,點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿直線BC以2 cm/s的速度移動(dòng),過點(diǎn)E作BC的垂線交直線CD于點(diǎn)F.
(1)試說明:∠A=∠BCD;
(2)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)多長時(shí)間,CF=AB?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在“元旦”期間,小明,小亮等同學(xué)隨家長一同到我市某景區(qū)游玩,下面是買門票時(shí),小明與他爸爸看了票價(jià)后的對(duì)話:
票價(jià):成人:每張35元; 學(xué)生:按成人票價(jià)的5折優(yōu)惠; 團(tuán)體票(16人以上含16人):按成人票價(jià)的a折優(yōu)惠.
爸爸:大人門票是每張35元,學(xué)生門票是5折優(yōu)惠,我們一共12人,共需350元.
小明:爸爸,等一下,讓我算一算,如果按團(tuán)體票方式買票,還可節(jié)省14元.
試根據(jù)以上信息,解答以下問題:
(1)小明他們一共去了幾個(gè)成人?幾個(gè)學(xué)生?
(2)求票價(jià)中a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩車分別從M、N兩地相向而行,甲車出發(fā)1小時(shí)后乙車出發(fā),并以各自速度勻速行駛,兩車相遇后依然按照原速度原方向各自行駛,如圖是甲乙兩車之間的距離s(千米)與甲車出發(fā)時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)圖象,其中D點(diǎn)表示甲車到達(dá)N地,停止行駛.
(1)甲車的速度是千米/小時(shí);乙車速度是千米/小時(shí);a= .
(2)甲車出發(fā)多長時(shí)間后兩車相距330千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把x2y﹣2y2x+y3分解因式正確的是( 。
A.y(x+y)(x﹣y)
B.y(x﹣y)2
C.y(x2﹣2xy+y2)
D.(x﹣2y)2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平行四邊形一邊長為12cm,那么它的兩條對(duì)角線的長度可以是( )
A.8cm和14cm
B.10cm 和14cm
C.18cm和20cm
D.10cm和34cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】因式分解x3﹣4x的結(jié)果是( 。
A.x(x2﹣4)
B.x(x﹣4)2
C.x(x﹣2)(x+2)
D.x(x﹣2)2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a,B點(diǎn)表示數(shù)b,且a、b滿足|2a+6|+|b﹣9|=0
(1)點(diǎn)A表示的數(shù)為 ,點(diǎn)B表示的數(shù)為 ;
(2)若點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC,點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC,請(qǐng)?jiān)邳c(diǎn)A、點(diǎn)B之間的數(shù)軸上找一點(diǎn)C,使BC=2AC,則C點(diǎn)表示的數(shù)為 ;
(3)在(2)的條件下,若一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以3個(gè)單位長度/秒速度由A向B運(yùn)動(dòng);同一時(shí)刻,另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以1個(gè)單位長度/秒速度由C向B運(yùn)動(dòng),終點(diǎn)都為B點(diǎn).當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),這點(diǎn)就停止運(yùn)動(dòng),而另一點(diǎn)則繼續(xù)運(yùn)動(dòng),直至兩點(diǎn)都到達(dá)終點(diǎn)時(shí)才結(jié)束整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程.設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示:點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離PA= ,點(diǎn)Q到點(diǎn)B的距離QB= ;點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離 PQ= .
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