【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0),B(5,﹣5),C(6,0)

(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,在直線AB下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P使四邊形PACB的面積最大?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若點(diǎn)Q為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試指出使△QAB為等腰三角形的點(diǎn)Q一共有幾個(gè)?并請(qǐng)你求出其中一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】
(1)解:設(shè)y=a(x+1)(x﹣6)(a≠0),

把B(5,﹣5)代入:a(5+1)(5﹣6)=﹣5,

a=

∴y= (x+1)(x﹣6)= x2 x﹣5


(2)解:存在,

如圖1

分別過P、B向x軸作垂線PM和BN,垂足分別為M、N,

設(shè)P(m, m2 m﹣5),四邊形PACB的面積為S,

則PM=﹣ m2+ m+5,AM=m+1,MN=5﹣m,CN=6﹣5=1,BN=5,

∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC,

= (﹣ m2+ m+5)(m+1)+ (5﹣ m2+ m+5)(5﹣m)+ ×1×6,

=﹣ (m2﹣4m+4)+

=﹣ (m﹣2)2+ ,

當(dāng)m=2時(shí),S有最大值為 ,這時(shí) m2 m﹣5= ×22 ×2﹣5=﹣10,

∴P(2,﹣10)


(3)解:這樣的Q點(diǎn)一共有5個(gè),

①以A為圓心,以AB為半徑畫弧,交拋物線的對(duì)稱軸于Q1、Q4,則AQ1=AQ4=AB,

設(shè)對(duì)稱軸交x軸于E,

y= x2 x﹣5= (x﹣ 2

∴拋物線的對(duì)稱軸是:x= ,

∵A(﹣1,0),B(5,﹣5),

∴AB= = ,

∴AE= +1= ,

由勾股定理得:Q1E=Q4E= = ,

∴Q1 , ),Q4 ,﹣

以B為圓心,以AB為半徑畫弧,交拋物線的對(duì)稱軸于Q2、Q5

∴Q2F=Q5F=AB= ,

過B作BF⊥Q1Q5于F,則Q2F=Q5F,

∵B(5,﹣5),

∴BF= ,

由勾股定理得:Q2F= = ,

∴Q5E= +5=

∴Q5 ,﹣ ),

∵Q2E= ﹣5= ,

∴Q2 ),

③連接Q3A、Q3B,

因?yàn)镼3在對(duì)稱軸上,所以設(shè)Q3 ,y),

∵△Q3AB是等腰三角形,且Q3A=Q3B,

由勾股定理得:( +1)2+y2=( ﹣5)2+(y+5)2,

y=﹣ ,

∴Q3 ,﹣ ).

綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:Q1 , ),Q2 ),Q3 ,﹣ ).Q4 ,﹣ )Q5 ,﹣


【解析】(1)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0),B(5,﹣5),C(6,0),可利用兩點(diǎn)式法設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣6),代入B(5,﹣5)即可求得函數(shù)的解析式;(2)作輔助線,將四邊形PACB分成三個(gè)圖形,兩個(gè)三角形和一個(gè)梯形,設(shè)P(m, m2 m﹣5),四邊形PACB的面積為S,用字母m表示出四邊形PACB的面積S,發(fā)現(xiàn)是一個(gè)二次函數(shù),利用頂點(diǎn)坐標(biāo)求極值,從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).(3)分三種情況畫圖:①以A為圓心,AB為半徑畫弧,交對(duì)稱軸于Q1和Q4,有兩個(gè)符合條件的Q1和Q4;②以B為圓心,以BA為半徑畫弧,也有兩個(gè)符合條件的Q2和Q5;③作AB的垂直平分線交對(duì)稱軸于一點(diǎn)Q3,有一個(gè)符合條件的Q3;最后利用等腰三角形的腰相等,利用勾股定理列方程求出Q3坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì),掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減。粚(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用水,萬(wàn)州市居民生活用水按階梯式水價(jià)計(jì)費(fèi),表是該市居民“一戶一表”生活用水階梯式計(jì)費(fèi)價(jià)格表的一部分信息:(水價(jià)計(jì)費(fèi)自來(lái)水銷售費(fèi)用污水處理費(fèi)用)

自來(lái)水銷售價(jià)格

污水處理價(jià)格

每戶每月用水量

單價(jià):元

單價(jià):元

17噸及以下

0.80

超過17噸不超過30噸的部分

0.80

超過30噸的部分

6.00

0.80

說(shuō)明:①每戶產(chǎn)生的污水量等于該戶的用水量,②水費(fèi)=自來(lái)水費(fèi)+污水處理費(fèi);

已知小明家20133月份用水20噸,交水費(fèi)66元;5月份用水25噸,交水費(fèi)91元.

1)求,的值.

2)隨著夏天的到來(lái),用水量將增加。為了節(jié)省開支,小夢(mèng)計(jì)劃把6月份的水費(fèi)控制在不超過家庭月收入的2%,若小夢(mèng)加的月收入為9200元,則小王家6月份最多能用水多少噸?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知AMBN,∠A=60°,點(diǎn)P是射線AM上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合),BC,BD分別平分∠ABP和∠PBN,分別交射線AM于點(diǎn)C,D


1)求∠CBD的度數(shù);
2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),∠APB:∠ADB的比值是否隨之變化?若不變,請(qǐng)求出這個(gè)比值;若變化,請(qǐng)找出變化規(guī)律;
3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某處時(shí),∠ACB=ABD,求此時(shí)∠ABC的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(1)如圖1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直線ED經(jīng)過點(diǎn)C,過AADED于點(diǎn)D,過BBEED于點(diǎn)E.
求證:BEC≌△CDA;
(模型應(yīng)用)
(2)①已知直線l1:y=x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o至直線l2,如圖2,求直線l2的函數(shù)表達(dá)式;
②如圖3,長(zhǎng)方形ABCO,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,-6),點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是直線y=-2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限.若APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF.
(1)觀察猜想
如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),

①BC與CF的位置關(guān)系為:
②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為:;(將結(jié)論直接寫在橫線上)
(2)數(shù)學(xué)思考
如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí),結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明.

(3)拓展延伸
如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G,連接GE.若已知AB=2 ,CD= BC,請(qǐng)求出GE的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,對(duì)稱軸為直線x= 的拋物線經(jīng)過B(2,0)、C(0,4)兩點(diǎn),拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A

(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),設(shè)四邊形COBP的面積為S,求S的最大值;
(3)如圖2,若M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),在x軸是否存在這樣的點(diǎn)Q,使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】閱讀下列材料,解決提出的問題:

最短路徑問題:如圖(1),點(diǎn)AB分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),如何在直線l上找到一個(gè)點(diǎn)C,使得點(diǎn)C到點(diǎn)A,點(diǎn)B的距離和最短?我們只需連接AB,與直線l相交于一點(diǎn),可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求.

如圖(2),如果點(diǎn)AB分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)C,使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離和最短?我們可以利用軸對(duì)稱的性質(zhì),作出點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)B,這時(shí)對(duì)于直線l上的任一點(diǎn)C,都保持CBCB,從而把問題(2)變?yōu)閱栴}(1).因此,線段AB與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求.

為了說(shuō)明點(diǎn)C的位置即為所求,我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C′,連接AC′,BC′,BC′.因?yàn)?/span>ABAC+CB,∴AC+CBAC'+CB,即AC+BC最。

任務(wù):

數(shù)學(xué)思考

1)材料中劃線部分的依據(jù)是   

2)材料中解決圖(2)所示問題體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是   .(填字母代號(hào)即可)

A.轉(zhuǎn)化思想

B.分類討論思想

C.整體思想

遷移應(yīng)用

3)如圖,在RtABC中,∠C=90°,∠BAC=15°,點(diǎn)PC邊上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)DAB邊上的動(dòng)點(diǎn),若AB8cm,則BP+DP的最小值為   cm

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】李師傅負(fù)責(zé)修理我校課桌椅,現(xiàn)知道李師傅修理2張課桌和3把椅子共需86分鐘,修理5張課桌和2把椅子共需149分鐘.

1)請(qǐng)問李師傅修理1張課桌和1把椅子各需多少分鐘

2)現(xiàn)我校有12張課桌和14把椅子需要修理,要求1天做完,李師傅每天工作8小時(shí),請(qǐng)問李師傅能在上班時(shí)間內(nèi)修完嗎?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AC于E交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)若AE=6,F(xiàn)B=4,求⊙O的面積.

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同步練習(xí)冊(cè)答案