Question

下列圖①、②、③中的陰影部分分別是以直角三角形的三邊為邊長所作的正多邊形；圖④中的陰影部分分別是以直角三角形的三邊為直徑所作的半圓．根據勾股定理可知：分別以直角三角形的兩條直角邊為邊長的正方形面積之和等于以斜邊為邊長的正方形的面積（如圖②）
（1）類似的結論，對于圖②的結論，對于圖①、③、④是否成立？如果成立，請選擇其中一個圖形進行證明．
（2）根據（1）的結論，你能提出一般性的結論嗎？寫出你的結論并給予證明．

Answer 1

（1）解：在圖①、③、④中，類似圖②的仍成立；
證明：在圖①中，設兩條直角邊a、b為一邊的正三角形的面積分別為S₁、S₂，以斜邊c為一邊的正三角形的面積為S₃，則，
，
S₃=c•（c）=c²，
∴S₁+S₂=（a²+b²）=c²=S₃．

（2）結論：如果分別以直角三角形的三邊為對應邊所作的三個圖形相似，
那么其兩條直角邊上的圖形面積之和等于斜邊上圖形的面積．
證明：設以兩直角邊a、b為一邊的圖形的面積分別為S₁、S₂，以斜邊c為一邊的圖形的面積為S₃，
∵分別以a、b、c為對應邊的三個圖形是相似圖形，
∴，（相似圖形面積之比等于相似比的平方）
∴，，
∴S₁+S₂=S₃．
分析：（1）在圖①中，設兩條直角邊a、b為一邊的正三角形的面積分別為S₁、S₂，以斜邊c為一邊的正三角形的面積為S₃，分別求出S₁、S₂，然后相加即可得出結論．
（2）設以兩直角邊a、b為一邊的圖形的面積分別為S₁、S₂，以斜邊c為一邊的圖形的面積為S₃，分別以a、b、c為對就邊的三個圖形是相似圖形，利用相似圖形面積之比等于相似比的平方，即可得出答案．
點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質、三角形的面積和勾股定理的理解和掌握，解答此題的關鍵是利用相似圖形面積之比等于相似比的平方．此題綜合性強，難度大，是一道難題．