某班甲、乙、丙三位同學進行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學問題的課題學習活動.
活動情境:
如圖2,將邊長為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊(折痕EG分別與AB、DC交于點E、G),使點B落在AD邊上的點 F處,F(xiàn)N與DC交于點M處,連接BF與EG交于點P.
所得結(jié)論:
當點F與AD的中點重合時:(如圖1)甲、乙、丙三位同學各得到如精英家教網(wǎng)下一個正確結(jié)論(或結(jié)果):
甲:△AEF的邊AE=
 
cm,EF=
 
cm;
乙:△FDM的周長為16cm;
丙:EG=BF.
你的任務:
(1)填充甲同學所得結(jié)果中的數(shù)據(jù);
(2)寫出在乙同學所得結(jié)果的求解過程;
(3)當點F在AD邊上除點A、D外的任何一處(如圖2)時:
①試問乙同學的結(jié)果是否發(fā)生變化?請證明你的結(jié)論;
②丙同學的結(jié)論還成立嗎?若不成立,請說明理由,若你認為成立,先證明EG=BF,再求出S(S為四邊形AEGD的面積)與x(AF=x)的函數(shù)關(guān)系式,并問當x為何值時,S最大?最大值是多少?
分析:(1)根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可設AE=x,則EF=8-x,利用勾股定理即可求出AE的長,進而求出EF的長;
(2)根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可得到∠MFE=90°,由相似三角形的判定定理可得出△AEF∽△DFM,再由相似三角形的對應邊成比例即可得出△FMD各邊的長,進而求出其周長;
(3)①設AF=x,利用勾股定理可得出AE=4-
1
16
x2
,同理可知△AEF∽△DFM,再由相似三角形的性質(zhì)可得出△FMD的周長,由正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理可知△AFB≌△KEG,進而可得出四邊形AEGD的面積,由其面積表達式即可求出其面積的最大值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)AE=3cm,EF=5cm;
設AE=x,則EF=8-x,AF=4,∠A=90°,42+x2=(8-x)2,x=3,
∴AE=3cm,EF=5cm;

(2)如答圖1,∵∠MFE=90°,
∴∠DFM+∠AFE=90°,
又∵∠A=∠D=90°,∠AFE=∠DMF,
∴△AEF∽△DFM,
EF
FM
=
AE
DF
=
AF
DM

又∵AE=3,AF=DF=4,EF=5
5
FM
=
3
4
,FM=
20
3
,
3
4
=
4
DM
,DM=
16
3
,
∴△FMD的周長=4+
20
3
+
16
3
=16;

(3)①乙的結(jié)果不會發(fā)生變化
理由:如答圖2,設AF=x,EF=8-AE,x2+AE2=(8-AE)2,
∴AE=4-
1
16
x2

同上述方法可得△AEF∽△DFM,C△AEF=x+8,F(xiàn)D=8-x,
C△FMD
C△AEF
=
FD
AE
,C△FMD=
(8-x)(8+x)
4-
1
16
x2
=16
②丙同學的結(jié)論還成立.
證明:如答圖2,
∵B、F關(guān)于GE對稱,
∴BF⊥EG于P,過G作GK⊥AB于K,
∴∠FBE=∠KGE,
在正方形ABCD中,GK=BC=AB,∠A=∠EKG=90°,
∴△AFB≌△KEG,
∴BF=EG.
由上述可知AE=4-
1
16
x2
,△AFB≌△KEG,
∴AF=EK=x,AK=AE+EK=AF+AE=4-
1
16
x2
+x,
S=
AE+DG
2
×8=0.5×8(AE+AK)
=4×(4-
1
16
x2
+4-
1
16
x2
+x)=-
1
2
x2+4x+32

S=-
1
2
(x-4)2+40
,(0<x<8)
當x=4,即F與AD的中點重合時S最大,S最大=40.
點評:本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及二次函數(shù)的最值問題,涉及面較廣,難度適中.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

某校學生會要了解本校七年級學生周末進行體育鍛煉的情況.在確定調(diào)查方式時,
甲同學說:“我去七年級2班調(diào)查全體學生”;
乙同學說:“我去七年級每個班隨機調(diào)查一定數(shù)量的學生”;
丙同學說:“我去市少年體育活動中心調(diào)查參加體育鍛煉的學生”.
(1)請你指出在以上三種調(diào)查方式中,哪位同學的調(diào)查方式最為合理?
(2)該校學生會采用了最為合理的調(diào)查方式收集數(shù)據(jù),并繪制了不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.
時間分組x(時) 劃記 頻數(shù)
0≤x<0.5 8
0.5≤x<1 正正 14
1≤x<1.5 正正 10
1.5≤x<2 a
2≤x<2.5 b
請你根據(jù)圖表提供的信息,寫出a、b的值,并補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若該校七年級共有300名學生,請你估計在周末進行體育鍛煉的時間少于1小時的學生人數(shù),并根據(jù)調(diào)查情況向同學們提出一條建議.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

某校學生會要了解本校七年級學生周末進行體育鍛煉的情況.在確定調(diào)查方式時,
甲同學說:“我去七年級2班調(diào)查全體學生”;
乙同學說:“我去七年級每個班隨機調(diào)查一定數(shù)量的學生”;
丙同學說:“我去市少年體育活動中心調(diào)查參加體育鍛煉的學生”.
(1)請你指出在以上三種調(diào)查方式中,哪位同學的調(diào)查方式最為合理?
(2)該校學生會采用了最為合理的調(diào)查方式收集數(shù)據(jù),并繪制了不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.
時間分組x(時)劃記頻數(shù)
0≤x<0.58
0.5≤x<1正正14
1≤x<1.5正正10
1.5≤x<2a
2≤x<2.5b
請你根據(jù)圖表提供的信息,寫出a、b的值,并補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若該校七年級共有300名學生,請你估計在周末進行體育鍛煉的時間少于1小時的學生人數(shù),并根據(jù)調(diào)查情況向同學們提出一條建議.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

某校學生會要了解本校七年級學生周末進行體育鍛煉的情況.在確定調(diào)查方式時,
甲同學說:“我去七年級2班調(diào)查全體學生”;
乙同學說:“我去七年級每個班隨機調(diào)查一定數(shù)量的學生”;
丙同學說:“我去市少年體育活動中心調(diào)查參加體育鍛煉的學生”.
(1)請你指出在以上三種調(diào)查方式中,哪位同學的調(diào)查方式最為合理?
(2)該校學生會采用了最為合理的調(diào)查方式收集數(shù)據(jù),并繪制了不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.
精英家教網(wǎng)

時間分組x(時) 劃記 頻數(shù)
0≤x<0.5
精英家教網(wǎng)
8
0.5≤x<1 正正
精英家教網(wǎng)
14
1≤x<1.5 正正 10
1.5≤x<2 a
2≤x<2.5
精英家教網(wǎng)
b
請你根據(jù)圖表提供的信息,寫出a、b的值,并補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若該校七年級共有300名學生,請你估計在周末進行體育鍛煉的時間少于1小時的學生人數(shù),并根據(jù)調(diào)查情況向同學們提出一條建議.

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科目:初中數(shù)學 來源:北京期末題 題型:解答題

某校學生會要了解本校七年級學生周末進行體育鍛煉的情況.在確定調(diào)查方式時,甲同學說:“我去七年級2班調(diào)查全體學生”;乙同學說:“我去七年級每個班隨機調(diào)查一定數(shù)量的學生”;丙同學說:“我去市少年體育活動中心調(diào)查參加體育鍛煉的學生”。
(1)請你指出在以上三種調(diào)查方式中,哪位同學的調(diào)查方式最為合理?
(2)該校學生會采用了最為合理的調(diào)查方式收集數(shù)據(jù),并繪制了不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖。
請你根據(jù)圖表提供的信息,寫出a、b的值,并補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若該校七年級共有300名學生,請你估計在周末進行體育鍛煉的時間少于1小時的學生人數(shù),并根據(jù)調(diào)查情況向同學們提出一條建議。

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