【題目】如圖,在RtABC中,BC3,∠BAC30°,斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂直的射線OM,ON上滑動(dòng).下列結(jié)論:①若C、O兩點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱,則OA3;②若AB平分CO,則ABCO;③C,O兩點(diǎn)間的最大距離是6;④斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是π,其中正確的有(  )

A. ①②B. ③④C. ②③④D. ①③④

【答案】D

【解析】

①先根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)和勾股定理分別求ACAB,由對(duì)稱的性質(zhì)可知:ABOC的垂直平分線,所以OA=AC;
②如圖2,當(dāng)∠ABO=30°時(shí),易證四邊形OACB是矩形,此時(shí)ABCO互相平分,但所夾銳角為60°,明顯不垂直,或者根據(jù)四點(diǎn)共圓可知:AC、BO四點(diǎn)共圓,則AB為直徑,由垂徑定理相關(guān)推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于這條弦,但當(dāng)這條弦也是直徑時(shí),即OC是直徑時(shí),ABOC互相平分,但ABOC不一定垂直;
③當(dāng)OC經(jīng)過AB的中點(diǎn)E時(shí),OC最大,則C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4
④半徑為2,圓心角為90°,根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

解:在RtABC中,∵BC3,∠BAC30°

AB6,AC3,

①若C、O兩點(diǎn)關(guān)于AB對(duì)稱,

ABOC的垂直平分線,

OAAC3;

所以①正確;

②當(dāng)∠ABO30°時(shí),∠OBC=∠AOB=∠ACB90°,

∴四邊形AOBC是矩形,

ABOC互相平分,

ABOC的夾角為60°120°,不垂直,

所以②不正確;

③取AB的中點(diǎn)為E,連接OE、CE

∵∠AOB=∠ACB90°,

OECEAB3

OCOE+EC,

∴當(dāng)OC經(jīng)過點(diǎn)E時(shí),OC最大,

C、O兩點(diǎn)距離的最大值為6

所以③正確;

④斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑是:以O為圓心,以3為半徑的圓周的,

則:×2π3π

所以④正確;

綜上所述,本題正確的有:①③④;

故選:D

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B. 小明出發(fā)分鐘后與爸爸第一次相遇

C. 小明在公園停留的時(shí)間為5分鐘

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