【題目】如圖,矩形ABCD中,EDC的中點,ADAB2,CPBP12,連接EP并延長,交AB的延長線于點F,AP、BE相交于點O.下列結(jié)論:①EP平分∠CEB;②PBEF;③PFEF2;④EFEP4AOPO.其中正確的是( 。

A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ③④

【答案】B

【解析】

由條件設(shè)AD=x,AB=2x,就可以表示出CP=x,BP=x,用三角函數(shù)值可以求出∠EBC的度數(shù)和∠CEP的度數(shù),則∠CEP=BEP,運用勾股定理及三角函數(shù)值就可以求出就可以求出BFEF的值,從而可以求出結(jié)論.

解:設(shè)AD=xAB=2x

∵四邊形ABCD是矩形

AD=BC,CD=AB,∠D=C=ABC=90°.DCAB

BC=x,CD=2x

CPBP=12

CP=x,BP=x

EDC的中點,

CE=CD=x,

tanCEP==,tanEBC==

∴∠CEP=30°,∠EBC=30°

∴∠CEB=60°

∴∠PEB=30°

∴∠CEP=PEB

EP平分∠CEB,故①正確;

DCAB,

∴∠CEP=F=30°,

∴∠F=EBP=30°,∠F=BEF=30°,

∴△EBP∽△EFB,

BE·BF=EF·BP

∵∠F=BEF

BE=BF

PB·EF,故②正確

∵∠F=30°,

PF=2PB=x,

過點EEGAFG

∴∠EGF=90°,

EF=2EG=2x

PF·EF=x·2x=8x2

2AD2=2×(x2=6x2,

∴PF·EF2AD2,故③錯誤.

RtECP中,

∵∠CEP=30°,

EP=2PC=x

tanPAB==

∴∠PAB=30°

∴∠APB=60°

∴∠AOB=90°

RtAOBRtPOB中,由勾股定理得,

AO=xPO=x

4AO·PO=4×x·x=4x2

EF·EP=2x·x=4x2

EF·EP=4AO·PO.故④正確.

故選,B

練習(xí)冊系列答案
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A. B. C. D.

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