Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O與AC相交于點D，過點D作DE⊥BC交AB延長線于點E，垂足為點F．

（1）證明：DE是⊙O的切線；

（2）若BE=4，∠E=30°，求由、線段BE和線段DE所圍成圖形（陰影部分）的面積，

（3）若⊙O的半徑r=5，sinA=，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）8（3）

【解析】分析：（1）連接BD、OD，由AB=BC及∠ADB=90°知AD=CD，根據AO=OB知OD是△ABC的中位線，據此知OD∥BC，結合DE⊥BC即可得證；

（2）設⊙O的半徑為x，則OB=OD=x，在Rt△ODE中由sinE=求得x的值，再根據S陰影=S△ODE-S扇形ODB計算可得答案．

（3）先證Rt△DFB∽Rt△DCB得，據此求得BF的長，再證△EFB∽△EDO得，據此求得EB的長，繼而由勾股定理可得答案．

詳解：（1）如圖，連接BD、OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BDA=90°，

∵BA=BC，

∴AD=CD，

又∵AO=OB，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為x，則OB=OD=x，

在Rt△ODE中，OE=4+x，∠E=30°，

∴，

解得：x=4，

∴DE=4，S△ODE=×4×4=8，

S扇形ODB=，

則S陰影=S△ODE-S扇形ODB=8-；

（3）在Rt△ABD中，BD=ABsinA=10×=2，

∵DE⊥BC，

∴Rt△DFB∽Rt△DCB，

∴，即，

∴BF=2，

∵OD∥BC，

∴△EFB∽△EDO，

∴，即，

∴EB=，

∴EF=．