【題目】如圖1,二次函數(shù)y= x2﹣2x+1的圖象與一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)B在第一象限內(nèi),點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),點(diǎn)M是一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn),過點(diǎn)B作軸的垂線,垂足為N,且SAMO:S四邊形AONB=1:48.

(1)求直線AB和直線BC的解析式;
(2)點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn),點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn),PD∥x軸,射線PD與拋物線交于點(diǎn)G,過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,PF⊥BC于點(diǎn)F.當(dāng)PF與PE的乘積最大時(shí),在線段AB上找一點(diǎn)H(不與點(diǎn)A,點(diǎn)B重合),使GH+ BH的值最小,求點(diǎn)H的坐標(biāo)和GH+ BH的最小值;
(3)如圖2,直線AB上有一點(diǎn)K(3,4),將二次函數(shù)y= x2﹣2x+1沿直線BC平移,平移的距離是t(t≥0),平移后拋物線上點(diǎn)A,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′,點(diǎn)C′;當(dāng)△A′C′K是直角三角形時(shí),求t的值.

【答案】
(1)解:∵點(diǎn)C是二次函數(shù)y= x2﹣2x+1圖象的頂點(diǎn),

∴C(2,﹣1),

∵AO⊥x軸,BN⊥x軸,

∴△MAO∽△MBN,

∵SAMO:S四邊形AONB=1:48,

∴SAMO:SBMN=1:49,

∴OA:BN=1:7,

∵OA=1

∴BN=7,

把y=7代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)= x2﹣2x+1中,可得7= x2﹣2x+1,

∴x1=﹣2(舍),x2=6

∴B(6,7),

∵A的坐標(biāo)為(0,1),

∴直線AB解析式為y=x+1,

∵C(2,﹣1),B(6,7),

∴直線BC解析式為y=2x﹣5.


(2)解:如圖1,

設(shè)點(diǎn)P(x0,x0+1),

∴D( ,x0+1),

∴PE=x0+1,PD=3﹣ x0,

∵∠DPF固定不變,

∴PF:PD的值固定,

∴PE×PF最大時(shí),PE×PD也最大,

PE×PD=(x0+1)(3﹣ x0)=﹣ x02+ x0+3,

∴當(dāng)x0= 時(shí),PE×PD最大,

即:PE×PF最大.此時(shí)G(5,

∵△MNB是等腰直角三角形,

過B作x軸的平行線,

BH=B1H,

GH+ BH的最小值轉(zhuǎn)化為求GH+HB1的最小值,

∴當(dāng)GH和HB1在一條直線上時(shí),GH+HB1的值最小,

此時(shí)H(5,6),最小值為7﹣ =


(3)解:令直線BC與x軸交于點(diǎn)I,

∴I( ,0)

∴IN= ,IN:BN=1:2,

∴沿直線BC平移時(shí),橫坐標(biāo)平移m時(shí),縱坐標(biāo)則平移2m,平移后A′(m,1+2m),C′(2+m,﹣1+2m),

∴A′C′2=8,A′K2=5m2﹣18m+18,C′K2=5m2﹣22m+26,

當(dāng)∠A′KC′=90°時(shí),A′K2+KC′2=A′C′2,解得m= ,此時(shí)t= m=2 ± ;

當(dāng)∠KC′A′=90°時(shí),KC′2+A′C′2=A′K2,解得m=4,此時(shí)t= m=4 ;

當(dāng)∠KA′C′=90°時(shí),A′C′2+A′K2=KC′2,解得m=0,此時(shí)t=0


【解析】(1)根據(jù)SAMO:SBMN=1:49可推出OA:BN=1:7,進(jìn)而算出B(6,7),利用待定系數(shù)法求出解析式;(2)最值問題的解決思路就是構(gòu)建函數(shù),用x的代數(shù)式表示PE×PD,GH+ BH的最小值轉(zhuǎn)化為求GH+HB1的最小值;(3)△A′C′K是直角三角形可分類討論:1.∠A′KC′=90°;2.∠KC′A′=90°;3.∠KA′C′=90°.

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解:設(shè)李磊去時(shí)的平均速度是x千米/時(shí),則返回時(shí)的平均速度是(1-)x千米/時(shí),由題意得:+=7,

你認(rèn)為小蕓同學(xué)的解法正確嗎?若正確,請寫出該方程所依據(jù)的等量關(guān)系,并完成剩下的步驟;若不正確,請說明原因,并完整地求解問題.

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(1)這次被調(diào)查的總?cè)藬?shù)是______;

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求表示A組(t≤10分)的扇形圓心角的度數(shù);

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(1)分別求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;
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1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);

2)如圖②,點(diǎn)MN分別為線段BC,OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M從點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)O以每秒15個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,且0t4,試比較四邊形MNAC的面積與四邊形MNOB的面積的大。

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④設(shè)OD=mAE+AF=n,則

其中正確的結(jié)論是____.(填序號(hào))

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2)如圖2AB∥CD,則∠1+∠2+∠3= ,并說明理由

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